Como calcular essa integral iterada de maneira simples

[Estudioso]

Calcule a integral iterada:

\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}v(u-v^2)^4\,du\,dv\)

Existe uma forma de resolver essa integral sem ter que "abri-la"?

Até consegui chegar no resultado correto mas deu muita conta.

Agradeço

[Sobolev]

Realmente não é necessário desenvolver a expressão. Se começar por integrar em ordem a v tudo fica mais fácil... E pode escolher livremente a ordem de integração pois os limites de integração são constantes.

\(\int_0^1 \int_0^1 v(u-v^2)^4 du dv = \int_0^1 \left[\frac{(u-v^2)^5}{-10}\right]_{v=0}^{v=1} du = -\frac{1}{10} \int_0^1 ((u-1)^5 - u^5) du = -\frac{1}{10} \left[\frac{(u-1)^6}{6} - \frac{u^6}{6}\right]_0^1 = -\frac{1}{10} ( -\frac 16-\frac 16) = \frac{1}{30}\)