Calcular o volume do Toro com integrais triplas.
17 nov 2015, 14:49
A resposta dá 2∏²ba². Não estou conseguindo calcular o Jacobiano. :/ Segue a questão em anexo!
- Anexos
-
- Aqui está a questão.
Re: Calcular o volume do Toro com integrais triplas. [resolvida]
17 nov 2015, 17:26
Uma vez que fornecem a parametrização da superfície, pode usar o teorema ds divergência e transformar o cálculo do volume (Integral triplo da função identicamente 1) num integral de superfície. O integral de superfície, usando a parametrização, reduz-se a um integral duplo no quadrado \([-\pi, \pi]\times[-\pi, \pi]\).
Sabe que:
1. \(Vol(T)=\iiint_T 1 dV\)
2. \(\iiint_T div(F) dV = \iint_{\partial T} F\cdot \vec{n} dS\)
Se escolher o campo vectorial \(F(x,y,z)=(x,0,0)\), que verifica div(T)=1, vê que
\(Vol(T) = \iiint 1 dV = \iint_{\partial T} (x,0,0) \cdot (n_1, n_2, n_3) dS = \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (b+a \cos v) \cos u (b+a \cos v) \cos u dudv = \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}a(b+a\cos(v))^2 \cos^2 u \cos v dudv = 2\pi^2 b a^2\)
Sabe que:
1. \(Vol(T)=\iiint_T 1 dV\)
2. \(\iiint_T div(F) dV = \iint_{\partial T} F\cdot \vec{n} dS\)
Se escolher o campo vectorial \(F(x,y,z)=(x,0,0)\), que verifica div(T)=1, vê que
\(Vol(T) = \iiint 1 dV = \iint_{\partial T} (x,0,0) \cdot (n_1, n_2, n_3) dS = \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (b+a \cos v) \cos u (b+a \cos v) \cos u dudv = \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}a(b+a\cos(v))^2 \cos^2 u \cos v dudv = 2\pi^2 b a^2\)