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Fiz esse exercício, mas não tenho o gabarito, então gostaria de confirmar minha resolução com outros membros.


(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 20 - Pág.: 920)
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O sólido limitado pelos paraboloides y=x²+z² e y=8-x²-z²


Resolução:
Calcular o volume do sólido limitado pelos paraboloides dados, é o mesmo, em termos numéricos, que calcular o volume limitado pelos seguintes paraboloides: z=x²+y² e z=8-x²-y². O valor correspondente às unidades de volume é exatamente igual. Além disso, a forma como é apresentada as equações lembra as coordenadas cilíndricas, então será feito essa substituição. Antes, é importante determinar o conjunto ao qual será feita a integração. A ideia partirá de encontrar a interseção entre as superfícies:

Se z=z, então x²+y²=8-x²-y². Implica que 2x²+2y²=8, e portanto x²+y²=2². Esta última equação representa a circunferência de centro na origem e raio valendo 2 unidades.

Porém, em termos de domínio da função, tem-se que considerar o seguinte círculo:
\(0\leq x^2+y^2\leq 2^2\)

Mudança de Variável na Integral Tripla:
\(\iiint_E f(x, y, z) dxdydz=\iiint_{E_{uvw}} f(\phi(u, v, w))\begin{vmatrix}\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}\end{vmatrix}dudvdw\)

Onde: \(\begin{vmatrix}\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}\end{vmatrix}\) é o módulo do determinante jacobiano.

Para o caso em específico feito por coordenadas cilíndricas:
\(\iiint_E dxdydz=\iiint_{E_{\theta\rho z}} \rho d\theta d\rho dz\)

Imagine que o ângulo \(\theta\) formado com o eixo das abscissas irá percorrer todos os ângulos para gerar o sólido que estamos calculando ou a calcular o volume, então \(0\leq \theta \leq 2\pi\). Para o caso de \(\rho\): \(0\leq \theta \leq 2\). A "componente z" irá de uma superfície a outra, ou seja, de \(z=x^2+y^2\) até \(z=8-x^2-y^2\). Mas, em coordenadas cilíndricas: \(z=\rho^2\) até \(z=8-\rho^2\).

Coordenadas Cilíndricas:
\(\left\{\begin{matrix}x=\rho cos\theta\\ y=\rho sen\theta\\ z=z\end{matrix}\right.\)

Integral Tripla:
\(\int_0^2\int_0^{2\pi}\int_{\rho^2}^{8-\rho^2}\rho dz d\theta d\rho=16\pi\) unidades de volume

Passo-a-passo:
a) \(\int_{\rho^2}^{8-\rho^2}\rho dz=\rho\int_{\rho^2}^{8-\rho^2} dz=\rho[(8-\rho^2)-(\rho^2)]=\rho(8-2\rho^2)=-2\rho^3+8\rho\)
b) \(\int_0^{2\pi}(-2\rho^3+8\rho)d\theta=-2\rho^3+8\rho(2\pi-0)=-4\pi\rho^3+16\pi\rho\)
c) \(\int_0^2(-4\pi\rho^3+16\pi\rho)d\rho=4\pi[-\frac{\rho^4}{4}+2\rho^2]_0^2=16\pi\)

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Vide ultra
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Bom dia,

A sua resolução está correcta. Foi realmente uma boa ideia utilizar coordenadas cilindricas, já que em coordenadas cartesianas o volume de cálculos é muito superior.