integral de linha ao longo de C

[jessy]

\(\int_{C} xy^4 ds,\)
c é o arco de circunferência \(x^2+y^2=16\) de (0,4) a (-4,0)

[Sobolev]

O primeiro passo é obter uma parametrização de C. Neste caso C pode ser parametrizado por \(\gamma: [0, \pi] \to \mathbb{R}^2\) em que \(\gamma (t) = (4 \cos t , 4 \sin t\).

Agora,

\(\int_C x y^4 ds = \int_0^{\pi} (4 \cos t)(4 \sin t)^4 \sqrt{(-4 \sin t)^2 + (4\cos t)^2} \, dt = 4 \int_0^{\pi} (4 \cos t)(4 \sin t)^4 \, dt = 4 \left[\frac{(4 \sin t)^5}{5}\right]_0^{\pi}\,dt = 0\)