Integral tripla - ∫∫∫z dxdydz
07 jul 2012, 15:51
danjr5 Escreveu:Calcule \(\int\int\int_{B}^{}zdxdydz\) onde \(B\) é o conjunto \(1 \leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 4, z \geq 0\)
Fiz assim:
\(x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0 ===> z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}\)
\(x^2 + y^2 + z^2 = 4 =====> z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}\)
Então, \(\sqrt{1 - x^2 - y^2} \leq z \leq \sqrt{4 - x^2 - y^2}\)
Fazendo \(z = 0\), terei \(x^2 + y^2 - 1 = 0\) e \(x^2 + y^2 = 4\)
Daí,
\(x = r.cos\theta\)
\(y = r.sen\theta\)
\(1 \leq r \leq 2\)
\(0 \leq \theta \leq 2\pi\)
\(\int_{}^{}\int_{B}^{}\int_{\sqrt[]{4 - x^2 - y^2}}^{\sqrt[]{1 - x^2 - y^2}}zdzdxdy =\)
\(\frac{1}{2}\int_{}^{}\int_{B}^{}5 - 2(x^2 + y^2)dxdy =\)
\(\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}(5 - 2r^2)rdrd\theta =\)
\(2\pi\)
Mas, de acordo com o livro a resposta é \(\frac{15\pi}{4}\)
Tentei também por mudança esférica e pude concluir que tenho grandes dificuldades em determinar o intervalo, nesse caso - \(R^3\)
Desde já agradeço.
Daniel F.
Re: Integral tripla - ∫∫∫z dxdydz
08 jul 2012, 14:25
Boas!
Acho que o melhor é mesmo coordenadas esféricas. Neste caso, \(\theta \in [0, 2\pi[, \psi \in [0, \pi/2], r \in[1, 2]\)
Ficamos então com
\(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_1^2 rsen\psi.r^2sen\psi dr d\psi d\theta=\)
\(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_1^2 r^3.sen^2\psi dr d\psi d\theta=\)
\(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}sen^2\psi [\frac{r^4}{4}]_1^2 d\psi d\theta=\)
\(\frac{30 \pi}{4} \int_0^{\pi/2}sen^2\psi d\psi=\)
\(\frac{30 \pi}{4} \int_0^{\pi/2}\frac{1}{2}(1-cos(2\psi)) d\psi=\)
\(\frac{30 \pi}{8} (\pi/4+1)= \frac{30\pi^2}{32}+\frac{30 \pi}{8}=\frac{15\pi^2}{16}+\frac{15 \pi}{4}\)
Não tenho tempo agora para rever, porque o resultado não dá igual ao que lhe deu, mas posso ver mais tarde.
Espero que ajude!
Acho que o melhor é mesmo coordenadas esféricas. Neste caso, \(\theta \in [0, 2\pi[, \psi \in [0, \pi/2], r \in[1, 2]\)
Ficamos então com
\(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_1^2 rsen\psi.r^2sen\psi dr d\psi d\theta=\)
\(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_1^2 r^3.sen^2\psi dr d\psi d\theta=\)
\(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}sen^2\psi [\frac{r^4}{4}]_1^2 d\psi d\theta=\)
\(\frac{30 \pi}{4} \int_0^{\pi/2}sen^2\psi d\psi=\)
\(\frac{30 \pi}{4} \int_0^{\pi/2}\frac{1}{2}(1-cos(2\psi)) d\psi=\)
\(\frac{30 \pi}{8} (\pi/4+1)= \frac{30\pi^2}{32}+\frac{30 \pi}{8}=\frac{15\pi^2}{16}+\frac{15 \pi}{4}\)
Não tenho tempo agora para rever, porque o resultado não dá igual ao que lhe deu, mas posso ver mais tarde.
Espero que ajude!
Re: Integral tripla - ∫∫∫z dxdydz
08 jul 2012, 15:50
Olá José Sousa,
bom dia!
Graças a ti consegui chegar a resposta correta.
\(x = r.sen\psi.cos\theta\)
\(y = r.sen\psi.sen\theta\)
\(z = r.cos\psi\)
\(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_1^2 rcos\psi.r^2sen\psi dr d\psi d\theta =\)
\(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\frac{15cos\psi.sen\psi}{4} d\psi d\theta=\)
\(\int_0^{2\pi}\frac{15}{8} d\theta=\)
\(\frac{15\pi}{4}\)
Mas não consegui entender/visualizar o intervalo de \(\psi\).
Att,
Daniel F.
bom dia!
Graças a ti consegui chegar a resposta correta.
\(x = r.sen\psi.cos\theta\)
\(y = r.sen\psi.sen\theta\)
\(z = r.cos\psi\)
\(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_1^2 rcos\psi.r^2sen\psi dr d\psi d\theta =\)
\(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\frac{15cos\psi.sen\psi}{4} d\psi d\theta=\)
\(\int_0^{2\pi}\frac{15}{8} d\theta=\)
\(\frac{15\pi}{4}\)
Mas não consegui entender/visualizar o intervalo de \(\psi\).
Att,
Daniel F.
Re: Integral tripla - ∫∫∫z dxdydz
08 jul 2012, 22:07
Esse intervalo explica-se sabendo que o angulo \(\psi\) conta-se desde a parte positiva do eixo dos z até à parte negativa (de 0 a \(\pi\)), sendo que de \(\pi/2\) a \(\pi\) é quando z é negativo. Como aqui só nos interessa o caso de z positivo... 
Re: Integral tripla - ∫∫∫z dxdydz
08 jul 2012, 23:14
Entendi!
Mais uma vez, meus agradecimentos.
Daniel F.
Mais uma vez, meus agradecimentos.
Daniel F.
Re: Integral tripla - ∫∫∫z dxdydz
08 jul 2012, 23:58
Não tem que agradecer! Obrigado pela colaboração também!
Saudações Pitagóricas
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