Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá
Tenho um exercício aqui do livro do Anton, que não estou conseguindo bater o resultado.
Lá vai, estou achando \([\frac{256}{15}\), mas o resultado diz que é \(\frac{128}{15}\)

Integral:
\(\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}\int_{-5+x^2+y^2}^{3-x^2-y^2}x\ dzdydx\)

Integrando z:
\(\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}[xz]_{-5+x^2+y^2}^{3-x^2-y^2}\ dydx\)

\(\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}x(3-x^2-y^2)-x(-5+x^2+y^2)\ dydx\)

\(\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}3x-x^3-xy^2+5x-x^3-xy^2\ dydx\)

\(\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}8x-2x^3-2xy^2\ dydx\)

Integrando y:
\(\int_{0}^{2}[8xy-2x^3y-\frac{2xy^3}{3}]_{0}^{\sqrt{4-x^2}}\ dx\)

\(\int_{0}^{2}8x(\sqrt{4-x^2})-2x^3(\sqrt{4-x^2})-\frac{2x(\sqrt{4-x^2})^{3}}{3}\ dx\)

\(\int_{0}^{2}8x(4-x^2)^{\frac{1}{2}}-2x^3(4-x^2)^{\frac{1}{2}}-\frac{2x(4-x^2)^{\frac{3}{2}}}{3}\ dx\)

Integrando x:
\(\left [-4\left (\frac{(4-x^2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right ) + x^2\left (\frac{(4-x^2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right )+\frac{1}{3}\left (\frac{(4-x^2)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} \right )\right ]^{2}_{0}\)

\(\left [-\frac{8}{3}(4-x^2)^{\frac{3}{2}} + \frac{2x^2}{3}(4-x^2)^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{15}(4-x^2)^{\frac{5}{2}}\right ]^{2}_{0}\)

Como ao escolher 2, os resultados dão 0 (pois \(4-2^2=0\)), interpretamos só o 0
\(0-\left[-\frac{64}{3}+0+\frac{64}{15} \right ] = \frac{320-64}{15} = \frac{256}{15}\)

Imagino que eu esteja errando na hora de integrar alguma coisa, mas aonde?

Quando eu derivei x, assumi que
\(u=4-x^2\)
logo, \(du=-2xdx\)

Assim, eu fiz algumas simplificações, como por exemplo extrair o 2x de um 8x e deixar os 4 restantes ao lado, multiplicando o resultado.

Porém fiz o mesmo para 2x³, ficando com x² ao lado, eu não tenho certeza se posso fazer isso. Posso?