Integral Dupla - Prova da Marinha
22 jul 2015, 00:52
Qual é o valor de:
\(\int_{o}^{1}\int_{o}^{sqrt(1-y^{2})}(1-sqrt(x^2+y^2))dxdy\)
R: pi/12
\(\int_{o}^{1}\int_{o}^{sqrt(1-y^{2})}(1-sqrt(x^2+y^2))dxdy\)
R: pi/12
Re: Integral Dupla - Prova da Marinha [resolvida]
22 jul 2015, 19:17
Olá Raphael!
Amigo, estou sem impressora no momento para escanear a resolução para você mas vou tentar explicar como se resolve
1°) Passei a respectiva integral dupla para coordenadas polares pois, a região de integração gerada é um círculo. Bom, como eu sei que é um círculo? Repare que em coordenadas retangulares temos: x = V(1-y²) --> x² + y² = 1 (circunferência de raio 1).
2°) Em coordenadas polares temos que x = r*cosθ e y = r*senθ.
3°) Em coordenadas retangulares repare que o "y" varia de 0 a 1. Logo, "varrerá" o primeiro quadrante da circunferência.
Com posse dessas informações podemos montar a integra dupla:
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}(1-r)\,rdrd\theta\)
Consegue resolver a integral sozinho?
Qualquer dúvida manda aí.
Abraço
--> Parece-me que estás estudando para algum concurso, posso ajudá-lo. Me envie o seu e-mail que lhe explico melhor.
Amigo, estou sem impressora no momento para escanear a resolução para você mas vou tentar explicar como se resolve
1°) Passei a respectiva integral dupla para coordenadas polares pois, a região de integração gerada é um círculo. Bom, como eu sei que é um círculo? Repare que em coordenadas retangulares temos: x = V(1-y²) --> x² + y² = 1 (circunferência de raio 1).
2°) Em coordenadas polares temos que x = r*cosθ e y = r*senθ.
3°) Em coordenadas retangulares repare que o "y" varia de 0 a 1. Logo, "varrerá" o primeiro quadrante da circunferência.
Com posse dessas informações podemos montar a integra dupla:
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}(1-r)\,rdrd\theta\)
Consegue resolver a integral sozinho?
Qualquer dúvida manda aí.
Abraço
--> Parece-me que estás estudando para algum concurso, posso ajudá-lo. Me envie o seu e-mail que lhe explico melhor.
Re: Integral Dupla - Prova da Marinha
22 jul 2015, 21:15
Olá, realmente estou estudando para uma prova da marinha que acontecerá daqui um mês. Venho estudando diariamente, e resolvendo exercícios da última prova. Possuo "prints" de mais 6 questões das quais estão paradas, pois não sei resolvê-las. Se quiser podemos trocar número de celular e te envio as questões das quais possuo, via whatsapp.
Quanto ao que me explicou acredito que eu tenha compreendido e assim realmente cheguei na resposta em questão.
Confirme pra mim, se meu pensamento estás correto, ok?
- Se o "y" está varrendo o primeiro quadrante, quer dizer que o "x" também será primeiro quadrante, assim o intervalo de "x" passou a ser 0 a pi/2, correto?
- Se isso o que descrevi, está certo então o intervalo de 0 a raiz, que por coord. polares equivale a x², aplico somente o angulo do primeiro quadrante, correto?
- Sempre quando faz a troca de retangular para polar, digamos o dxdy "vira" \(rdrd\theta\) onde r seria o antigo "y" e theta seria o antigo "x". Correto?
Se quiser me add no cel, estás aí meu número -> 12981278413
Muito obrigado pela ajuda e Deus lhe pague por sua bondade.
Quanto ao que me explicou acredito que eu tenha compreendido e assim realmente cheguei na resposta em questão.
Confirme pra mim, se meu pensamento estás correto, ok?
- Se o "y" está varrendo o primeiro quadrante, quer dizer que o "x" também será primeiro quadrante, assim o intervalo de "x" passou a ser 0 a pi/2, correto?
- Se isso o que descrevi, está certo então o intervalo de 0 a raiz, que por coord. polares equivale a x², aplico somente o angulo do primeiro quadrante, correto?
- Sempre quando faz a troca de retangular para polar, digamos o dxdy "vira" \(rdrd\theta\) onde r seria o antigo "y" e theta seria o antigo "x". Correto?
Se quiser me add no cel, estás aí meu número -> 12981278413
Muito obrigado pela ajuda e Deus lhe pague por sua bondade.
Re: Integral Dupla - Prova da Marinha
24 jul 2015, 12:41
Olá Raphael!
Como estamos analisando o primeiro quadrante o nosso "x" passa a ser o raio da circunferência (varia de 0 a 1). O "y" é a variação do ângulo no sentido anti-horário a contar do zero (logo, de 0 a pi/2).
O r*drdθ é o Jacobiano que sempre aparece quando transformamos para coordenadas polares.
Continuo colocando-me a disposição caso surjam eventuais dúvidas.
Abraço
Como estamos analisando o primeiro quadrante o nosso "x" passa a ser o raio da circunferência (varia de 0 a 1). O "y" é a variação do ângulo no sentido anti-horário a contar do zero (logo, de 0 a pi/2).
O r*drdθ é o Jacobiano que sempre aparece quando transformamos para coordenadas polares.
Continuo colocando-me a disposição caso surjam eventuais dúvidas.
Abraço