Volume gerado por uma superfície de revolução - 42

[danko71]

W. A. GRANVILLE, página 337
337/42. Achar o volume do sólido gerado pela revolução da cissóide \(y^2=\frac{x^3}{2a-x}\) em tôrno da assíntota x = 2a.

[pedrodaniel10]

Como o gráfico é simétrico em relação ao eixo Ox vamos tomar os valores para os quais y>0. Desta feita o volume será o dobro do que obtemos com y>0.
Vamos primeiro calcular o raio e a altura.
\(r=2a-x
h=dy\)

Como a altura é dy temos de por em forma de dx visto que estamos a integrar em função do x. E por isso pegamos na função e derivamos nos dois lados em ordem a x sendo que y depende de x.
\(\frac{\partial }{\partial x}\left ( y^2 \right )=\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{x^3}{2a-x} \right )\Rightarrow 2y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{6ax^2-2x^3}{(2a-x)^2}\)

Resolvendo a equação em ordem a dy temos:
\(dy=\frac{6ax^2-2x^3}{2y(2a-x)^2}dx\)
E como para y>0 y é igual a:
\(y=\sqrt{\frac{x^3}{2a-x}}=x^{3/2}(2a-x)^{-1/2}\)
Temos a igualdade:
\(dy=\frac{(3a-x)x^{1/2}}{(2a-x)^{3/2}}dx\)
Então o volume é dado por (multiplicado por 2 visto que só integramos para y>0):
\(V=2\int_{0}^{2a}\pi (2a-x)^2\frac{(3a-x)x^{1/2}}{(2a-x)^{3/2}}dx=2\pi\int_{0}^{2a}(2a-x)^{1/2}(3a-x)x^{1/2}dx=2\pi^2a^3\)

[danko71]

Prezado Pedro Daniel:

Eu li, com atenção, linha por linha, palavra por palavra, o que você escreveu. Fiz todas as contas, verifiquei tudo, seu raciocínio e suas explicações não deixam dúvidas. Mas eu lhe peço que, quando tiver um tempinho, dê uma olhada na passagem em que está escrito \(x^{3/2}(2a-x)^{1/2}\). Acho que deveria ser \(\frac{x^{3/2}}{(2a-x)^{1/2}}\). Caso eu esteja certo, edite o exercício e corrija.
Pergunta: Para calcular o integral e chegar ao resultado final você usa o WOLFRAM?.

No mais, meu jovem, muito obrigado pelo belíssimo trabalho.

[pedrodaniel10]

Tem razão, esqueci de colocar um menos nessa linha e já corrigi, muito obrigado. No entanto o resto dos cálculos estão corretos. Foi apenas um lapso na escrita. Uso tanto o wolfram como o symbolab ou o mathematica.