Resolucao integral dupla com exponencial

[drayton.roger]

Pessoal, segue uma questão da cesgranrio para eng eletrica (petrobras). Não encontrei a solução. Aguardo qq auxílio.

66) Qual é o valor da integral dupla ∫0 a 1∫ y a 1 2*e^(-x²) dx dy

Resposta: 1 - 1-/e

[pedrodaniel10]

\(2e^{-x^2}=2\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n}\)

\(2\int_{y}^{1}e^{-x^2}dx=2\sum_{n=0}^{\infty }\int_{y}^{1}\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n}dx=2\sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{(-1)^n}{n!}\cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right ]_{y}^{1}=2\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}-\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}\cdot y^{2n+1}=2\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)}{n!(2n+1)}\left ( 1-y^{2n+1} \right )\)

\(2\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}e^{-x^2}dxdy=2\sum_{n=0}^{\infty }\int_{0}^{1}\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}\left ( 1-y^{2n+1} \right )dy=2\sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}\left ( y-\frac{y^{2n+2}}{2n+2} \right )\right ]_{0}^{1}=2\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}\left ( 1-\frac{1}{2n+2} \right )=2\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}-\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)(2n+2)}\)

\(\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}=\frac{\sqrt{\pi }}{2} \text{erf}(1)
\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)(2n+2)}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{(n+1)!(2n+1)}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-1}+\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2e}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{erf}(1)\)

\(2\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}-\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)(2n+2)}=2\left ( \frac{\sqrt{\pi }}{2} \text{erf}(1)-\left ( -\frac{1}{2}+\frac{1}{2e}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{erf}(1) \right ) \right )=\frac{e-1}{e}\)

[drayton.roger]

Olá, Pedro. Depois eu consegui de um outro jeito (Bernardo em outro forum me indicou a solução curta para o problema).

A função e^(-x^2) não tem primitiva analítica. Dessa maneira, deve-se simplesmente inverter a ordem de integração.

A região de integração é: D={(x,y) E R, y < x < 1, 0<y<1}. Então também podemos escrever: D={(x,y) E R, 0 < y< 1, y< x <1 }.

int (0 a x) 2*e^(-x^2) dy = 2*x*e^(-x^2)
int (0 a x) 2*x*e^(-x^2) dx = [- e^(-x^2)] 0 a 1= 1-1/e

Um [ ].

[drayton.roger]

Apenas corrigindo o intervalo de integração...

A função e^(-x^2) não tem primitiva analítica. Dessa maneira, deve-se simplesmente inverter a ordem de integração.

A região de integração é: D={(x,y) E R, y < x < 1, 0<y<1}. Então também podemos escrever: D={(x,y) E R, 0 < y< 1, y< x <1 }.

int (0 a x) 2*e^(-x^2) dy = 2*x*e^(-x^2)
int (0 a 1) 2*x*e^(-x^2) dx = [- e^(-x^2)] 0 a 1= 1-1/e

Um [ ].