| Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/ |
|
| Resolucao integral dupla com exponencial https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=10&t=10253 |
Página 1 de 1 |
| Autor: | drayton.roger [ 11 jan 2016, 01:33 ] |
| Título da Pergunta: | Resolucao integral dupla com exponencial |
Pessoal, segue uma questão da cesgranrio para eng eletrica (petrobras). Não encontrei a solução. Aguardo qq auxílio. 66) Qual é o valor da integral dupla ∫0 a 1∫ y a 1 2*e^(-x²) dx dy Resposta: 1 - 1-/e |
|
| Autor: | pedrodaniel10 [ 11 jan 2016, 04:11 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Resolucao integral dupla com exponencial |
\(2e^{-x^2}=2\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n}\) \(2\int_{y}^{1}e^{-x^2}dx=2\sum_{n=0}^{\infty }\int_{y}^{1}\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n}dx=2\sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{(-1)^n}{n!}\cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right ]_{y}^{1}=2\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}-\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}\cdot y^{2n+1}=2\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)}{n!(2n+1)}\left ( 1-y^{2n+1} \right )\) \(2\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}e^{-x^2}dxdy=2\sum_{n=0}^{\infty }\int_{0}^{1}\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}\left ( 1-y^{2n+1} \right )dy=2\sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}\left ( y-\frac{y^{2n+2}}{2n+2} \right )\right ]_{0}^{1}=2\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}\left ( 1-\frac{1}{2n+2} \right )=2\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}-\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)(2n+2)}\) \(\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}=\frac{\sqrt{\pi }}{2} \text{erf}(1) \sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)(2n+2)}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{(n+1)!(2n+1)}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-1}+\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2e}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{erf}(1)\) \(2\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}-\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)(2n+2)}=2\left ( \frac{\sqrt{\pi }}{2} \text{erf}(1)-\left ( -\frac{1}{2}+\frac{1}{2e}+\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{erf}(1) \right ) \right )=\frac{e-1}{e}\) |
|
| Autor: | drayton.roger [ 11 jan 2016, 04:21 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Resolucao integral dupla com exponencial |
Olá, Pedro. Depois eu consegui de um outro jeito (Bernardo em outro forum me indicou a solução curta para o problema). A função e^(-x^2) não tem primitiva analítica. Dessa maneira, deve-se simplesmente inverter a ordem de integração. A região de integração é: D={(x,y) E R, y < x < 1, 0<y<1}. Então também podemos escrever: D={(x,y) E R, 0 < y< 1, y< x <1 }. int (0 a x) 2*e^(-x^2) dy = 2*x*e^(-x^2) int (0 a x) 2*x*e^(-x^2) dx = [- e^(-x^2)] 0 a 1= 1-1/e Um [ ]. |
|
| Autor: | drayton.roger [ 11 jan 2016, 04:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Resolucao integral dupla com exponencial [resolvida] |
Apenas corrigindo o intervalo de integração... A função e^(-x^2) não tem primitiva analítica. Dessa maneira, deve-se simplesmente inverter a ordem de integração. A região de integração é: D={(x,y) E R, y < x < 1, 0<y<1}. Então também podemos escrever: D={(x,y) E R, 0 < y< 1, y< x <1 }. int (0 a x) 2*e^(-x^2) dy = 2*x*e^(-x^2) int (0 a 1) 2*x*e^(-x^2) dx = [- e^(-x^2)] 0 a 1= 1-1/e Um [ ]. |
|
| Página 1 de 1 | Os Horários são TMG [ DST ] |
| Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/ |
|