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\(\int \frac{3ax}{b^{2}-c^{2}x^{2}} dx\)

como é em relação a x, temos que a,b e c são constantes. Logo

\(\int \frac{3ax}{b^{2}-c^{2}x^{2}}dx = 3a\int \frac{x}{b^{2}-c^{2}x^{2}}dx\)

Agora, chame de \(u=b^{2}-c^{2}x^{2} \Rightarrow du= -2c^{2}xdx\)

\(\Rightarrow \frac{-1}{2c^{2}}du=xdx\)

Com isso, temos

\(3a\int \frac{-1}{2c^{2}}.\frac{1}{u}du = -3a.\frac{1}{2c^{2}}\int \frac{1}{u}du = \frac{-3a}{2c^{2}}lnu + C = \frac{-3a}{2c^{2}}ln(b^{2}-c^{2}x^{2}) + C\)

Para confirmação, derive o resultado e encontrará o mesmo resultado do integrando.

Se \(c \ne 0\), realmente

\(\int \frac{3ax}{b^2-c^2x^2} dx = \frac{3a}{-2c^2}\int \frac{-2c^2 x}{b^2-c^2x^2} dx = \frac{3a}{-2c^2} \ln|b^2-c^2x^2| + K\)

No entanto, se \(c=0\), a fórmula anterior não permite recuperar o resultado, que será

\(\int \frac{3ax}{b^2-c^2x^2} dx = \int \frac{3ax}{b^2} dx = \frac{3a}{ 2 b^2} x^2 + K\).