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| Calcule o valor máximo que a função f(x,y,z)=x²+y²+2z⁴ atinge na esfera x²+y²+z²=1 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=10&t=11361 |
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| Autor: | fredericoahb [ 15 jun 2016, 02:30 ] |
| Título da Pergunta: | Calcule o valor máximo que a função f(x,y,z)=x²+y²+2z⁴ atinge na esfera x²+y²+z²=1 |
Prezados, alguém pode ajudar nessa? Calcule o valor máximo que a função f(x,y,z)=x²+y²+2.z⁴ atinge na esfera x²+y²+z²=1. |
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| Autor: | Sobolev [ 15 jun 2016, 18:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calcule o valor máximo que a função f(x,y,z)=x²+y²+2z⁴ atinge na esfera x²+y²+z²=1 [resolvida] |
Pode usar o método dos multiplicadores de Lagrange ou, alternativamente, como \(x^2+y^2+z^2 = 1\), sabemos que \(x^2+y^2=1-z^2\). Se substituir na função objectivo, passamos a querer maximizar a função \(f(z) = 1-z^2+2z^4\), no intervalo [-1,1]. Tratando-se de uma função diferenciável em ]-1,1[ e contínua em [-1,1], o máximo (que sabemos existir, devido ao teorema de Weierstrass) ocorre nos extremos ou num ponto onde a derivada se anule. Ora, \(f'(z)=0 \Leftrightarrow -2z + 8z^3 = 0\Leftrightarrow -2z (1-4z^2) = 0 \Leftrightarrow z = 0 \vee z = \pm \frac 12\). Finalmente, como \(f(-1)=f(1)=2, f(0) = 1, f(\pm \frac 12) =\frac 78\) concuclímos que o máximo é 2, atingido nos pontos \(z = \pm 1\), ou seja, nos pontos \((0,0, \pm 1)\). |
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