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Modifique a integral da forma cartesiana para a equivalente polar e resolva.

\(\int_{-1}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}x^2+y^2 dxdy\)


o gabarito é pi/8 o meu resultado deu pi/4

Eu acredito que estava errando no limite de y, fiz agora e deu o gabarito

A região de integração, dada em coordenadas cartesianas por

\(R = \{(x,y): -1 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq \sqrt{1-y^2} \}\)

é expressa em coordenadas polares como

\(P = \{(\r, \theta): 0 \leq r \leq 1, -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\}\)

Deste modo o integral é dado por

\(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^1 r \cdot r^2 dr d\theta = \pi [r^4/4]_0^1=\frac{\pi}{4}\)

O gabarito está errado... O resultado é de facto \(\pi /4\).

Eu não consegui visualizar como vc chegou nesses limites de ângulos, poderia me explicar

A região é constituída pelos pontos que verificam a condição:

"Quando y varia entre -1 e 1, x varia entre x=0 e \(x=\sqrt{1-y^2}\)."

Notando que \(x = \sqrt{1-y^2} \Rightarrow x^2+y^2 = {1}\), conclui que a região consiste em metade de um circulo de raio 1, concretamente na metade à direita do eixo dos yy. Ora, nesse semi-círculo, o ângulo varia entre \(-\pi/2\), quando estamos na parte negetiva do eixo dos yy, e \(\pi/2\), quando estamos na parte positiva do eixo dos yy. A distancia à origem (r) está sempre entre 0 e 1.