Os sólidos de revolução são obtidos somando o volume de pequenos cilindros. Resultado desta soma são obtidos usando a operação do Integral.
O volume do cilindro é dado por \(V=A_b\cdot h=\pi r^2\cdot h\).
Então o raio é a distância do ponto na função \(f(x)=x^2\) à reta \(y=x\Leftrightarrow x-y=0\)
A distância entre um ponto \((x_o,y_0)\) e uma reta \(ax+by+c=0\) é dada por:
\(D=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
Como o ponto é dado por \((x,f(x))\):
\(r=\frac{|1\cdot x+(-1)f(x)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|x-x^2|}{\sqrt{2}}\)
E a altura do cilindro é dado por uma distância muito pequena que é dh. E quanto é dh?
Anexo:
dh.png [ 4.86 KiB | Visualizado 3774 vezes ]
\(dh^2=dx^2+dx^2\Rightarrow dh=\sqrt{2}dx\)
Pelo que o volume de um cilindro muito pequeno é dado por:
\(V_i=\pi r^2\cdot h=\pi\cdot \left ( \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} \right )^2\cdot dh=\pi\cdot \left ( \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} \right )^2\cdot \sqrt{2}\, dx\)
Pelo que o sólido gerado por revolução é dado por:
\(V=\int_{0}^{1}\pi\cdot \left ( \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} \right )^2\cdot \sqrt{2}\, dx=\frac{\sqrt{2}\pi}{60}\)
Consegue fazer para o segundo exercicio ?
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