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Volume gerado por uma superfície de revolução - 42 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=10&t=12390 |
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Autor: | danko71 [ 26 fev 2017, 18:48 ] |
Título da Pergunta: | Volume gerado por uma superfície de revolução - 42 |
W. A. GRANVILLE, página 337 337/42. Achar o volume do sólido gerado pela revolução da cissóide \(y^2=\frac{x^3}{2a-x}\) em tôrno da assíntota x = 2a. |
Autor: | pedrodaniel10 [ 27 fev 2017, 04:58 ] |
Título da Pergunta: | Re: Volume gerado por uma superfície de revolução - 42 [resolvida] |
Como o gráfico é simétrico em relação ao eixo Ox vamos tomar os valores para os quais y>0. Desta feita o volume será o dobro do que obtemos com y>0. Vamos primeiro calcular o raio e a altura. \(r=2a-x h=dy\) Como a altura é dy temos de por em forma de dx visto que estamos a integrar em função do x. E por isso pegamos na função e derivamos nos dois lados em ordem a x sendo que y depende de x. \(\frac{\partial }{\partial x}\left ( y^2 \right )=\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{x^3}{2a-x} \right )\Rightarrow 2y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{6ax^2-2x^3}{(2a-x)^2}\) Resolvendo a equação em ordem a dy temos: \(dy=\frac{6ax^2-2x^3}{2y(2a-x)^2}dx\) E como para y>0 y é igual a: \(y=\sqrt{\frac{x^3}{2a-x}}=x^{3/2}(2a-x)^{-1/2}\) Temos a igualdade: \(dy=\frac{(3a-x)x^{1/2}}{(2a-x)^{3/2}}dx\) Então o volume é dado por (multiplicado por 2 visto que só integramos para y>0): \(V=2\int_{0}^{2a}\pi (2a-x)^2\frac{(3a-x)x^{1/2}}{(2a-x)^{3/2}}dx=2\pi\int_{0}^{2a}(2a-x)^{1/2}(3a-x)x^{1/2}dx=2\pi^2a^3\) |
Autor: | danko71 [ 28 fev 2017, 21:48 ] |
Título da Pergunta: | Re: Volume gerado por uma superfície de revolução - 42 |
Prezado Pedro Daniel: Eu li, com atenção, linha por linha, palavra por palavra, o que você escreveu. Fiz todas as contas, verifiquei tudo, seu raciocínio e suas explicações não deixam dúvidas. Mas eu lhe peço que, quando tiver um tempinho, dê uma olhada na passagem em que está escrito \(x^{3/2}(2a-x)^{1/2}\). Acho que deveria ser \(\frac{x^{3/2}}{(2a-x)^{1/2}}\). Caso eu esteja certo, edite o exercício e corrija. Pergunta: Para calcular o integral e chegar ao resultado final você usa o WOLFRAM?. No mais, meu jovem, muito obrigado pelo belíssimo trabalho. |
Autor: | pedrodaniel10 [ 28 fev 2017, 22:58 ] |
Título da Pergunta: | Re: Volume gerado por uma superfície de revolução - 42 |
Tem razão, esqueci de colocar um menos nessa linha e já corrigi, muito obrigado. No entanto o resto dos cálculos estão corretos. Foi apenas um lapso na escrita. Uso tanto o wolfram como o symbolab ou o mathematica. |
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