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W. A. GRANVILLE, página 326
326/16. Achar a área limitada pela hipérbole equilátera \(x^2-y^2=a^2\) o eixo X e uma reta traçada da origem ao ponto (x,y) da curva.

Resposta:\(\frac{a^2}{2}ln(\frac{x+y}{a})\)

Pode assumir que \(x,y > 0\), já que para outras combinações de sinal o valor da área é o mesmo. A área é dada pela diferença entre duas áreas (a do triângulo retângulo e a compreendida entre o eixo dos xx e a hipérbole, no intervalo [a,x]), ou seja,

\(\frac{xy}{2} - \int_a^x \sqrt{t^2- a^2} dt = \frac{xy}{2} - \frac{xy}{2}+ \frac{a^2}{2}(-\ln a+\ln(x+\sqrt{x^2-a^2}))=\frac{a^2}{2} \ln \frac{x+y}{a}\)