integral dupla coordenadas cartesiana para cartesiana polares

[HenriqueRF]

integral dupla coordenadas cartesiana para cartesiana polares

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Eu e mais dois amigos da faculdade estamos resolvendo umas lista de exercícios para uma prova e nós não conseguimos resolver essa questão, o professor não colocou a resposta dela.

[Sobolev]

\(\int_{\pi/2}^{\pi} \int_2^3 \rho (\rho \cos \theta + \rho \sin \theta)^2 d \rho d \theta= \int_{\pi/2}^{\pi} (\cos \theta + \sin \theta)^2 \int_2^3 \rho^3 d \rho d \theta = [\rho^4/4]_2^3 \cdot \int_{\pi/2}^{\pi}(\cos^2\theta + 2 \cos \theta \sin \theta + \sin^2 \theta) d \theta=
\frac{65}{4}[\theta -\frac 12 \cos (2 \theta)]_{\pi/2}^{\pi} = \frac{65}{4}(\pi -\frac 12 -\frac{\pi}{2}-\frac 12) = \frac{65}{4}(\frac{\pi}{2}-1)\)

[HenriqueRF]

\(\int_{\pi/2}^{\pi} \int_2^3 \rho (\rho \cos \theta + \rho \sin \theta)^2 d \rho d \theta= \int_{\pi/2}^{\pi} (\cos \theta + \sin \theta)^2 \int_2^3 \rho^3 d \rho d \theta = [\rho^4/4]_2^3 \cdot \int_{\pi/2}^{\pi}(\cos^2\theta + 2 \cos \theta \sin \theta + \sin^2 \theta) d \theta=
\frac{65}{4}[\theta -\frac 12 \cos (2 \theta)]_{\pi/2}^{\pi} = \frac{65}{4}(\pi -\frac 12 -\frac{\pi}{2}-\frac 12) = \frac{65}{4}(\frac{\pi}{2}-1)\)

Muito obrigado pela resposta, eu só não entendi o motivo do rho está elevado ao cubo e se possível me falar mais um pouco sobre a integral de (cos+sen)^2, como você conseguiu resolver ela.

Anexos

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[Sobolev]

\(\rho (\rho \cos \theta + \rho \sin \theta)^2 = \rho \rho^2 (\cos \theta + \sin \theta)^2 = \rho^3 (\cos \theta + \sin \theta)^2\)

\(\int (\cos \theta +\sin \theta)^2 d \theta = \int(\cos^2 \theta + 2 \cos \theta \sin \theta + \sin^2 \theta) d \theta = \int (1+ \sin (2\theta)) d \theta = \theta -\frac 12 \cos (2 \theta)\)

[HenriqueRF]

Entendi, obrigado.