Questão 2)
V1=volume produzido pela rotação da região ABCD em torno de y = -2
\(dA=1dh;\ dV=2\pi hdA=2\pi hdh\ e\ V1=2\pi \int_{0}^{2}hdh=2\pi \left [ \frac{h^2}{2} \right ]_0^2=4\pi\\\)
V2=volume produzido pela rotação da região CDE em torno de y = -2
\(y=x^2;\ x=y^{1/2}\\\)
\(r=y+2;\ dA=(1-x)dy;\ dV=2\pi rdA=2\pi (y+2)(1-x)dy=2\pi (y+2)(1-y^{1/2})dy\\ dV=(y-y^{3/2}+2-2y^{1/2})dy\\ V2=2\pi \int_{0}^{1}(y-y^{3/2}-2y^{1/2}+2)=2\pi \left [ \frac{y^2}{2}-\frac{2}{5}y^{5/2}-\frac{4}{3}y^{3/2}-2y \right ]_0^1=\frac{23}{15}\pi\\ V=V1+V2=4\pi + \frac{23}{15}\pi\ =\ \frac{83}{15}\pi\\\)
PARA CONFERIR:
A rotação da região ABCD em torno de y = -2 gera um cilindo de raio r=2 e altura h=1 e seu volume é:\(V=\pi r^2h=\pi.2^2.1 = 4\pi\)
A ordenada do centro de gravidade da região CDE, em relação ao eixo OX é \(\frac{3}{10}b,\ sendo\ b=distancia\ DE=1\\\)
A ordenada em relaçao à reta y = -2 é \(y_{cg}=2+\frac{3}{10}=\frac{23}{10}\\\)
O volume produzino pela rotação da região CDE em relação a y = -2 é, usando Pappus-Guldinus,
\(V=2\pi y_{cg}A,\ sendo\ A\ a\ area\ da\ regiao\\ A=\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{x^3}{3}=\frac{1}{3}\\ V2=2\pi(\frac{23}{10})(\frac{1}{3})=\frac{23}{15}\pi\)