Integral dupla de função contínua em um triângulo (verificar igualdade)
10 dez 2017, 21:13
Que propriedade ou o que precisa saber para verificar essa igualdade? Como se faz isso? (Questão do Anexo I)
Eu comecei a tentar a fazer a questão traçando a região de integração, mas não sei o que fazer a partir daqui. (Anexo II)
Eu comecei a tentar a fazer a questão traçando a região de integração, mas não sei o que fazer a partir daqui. (Anexo II)
- Anexos
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- Anexo II
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- Anexo I - Questão sobre integrais múltiplas
Re: Integral dupla de função contínua em um triângulo (verificar igualdade)
20 fev 2018, 14:51
A primeira igualdade corresponde simplesmente a reconhecer que a região Z pode ser descrita como
\(Z = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 0 \leq y \leq a , 0 \leq x \leq y \}\),
o que corresponde aos limites de integração colocados no primeiro integral duplo. A mesma região pode também ser descrita como
\(Z = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:0 \leq x \leq a , x \leq y \leq a\}\)
Assim, pode concluir que
\(\int_0^a \int_0^y f(x) dx dy = \int_0^a \int_x^a f(x) dy dx = \int_0^a [y f(x)]_{y=x}^{y=a} dx = \int_0^a (a f(x) - x f(x))dx = \int_0^a (a-x) f(x) dx\)
\(Z = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 0 \leq y \leq a , 0 \leq x \leq y \}\),
o que corresponde aos limites de integração colocados no primeiro integral duplo. A mesma região pode também ser descrita como
\(Z = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:0 \leq x \leq a , x \leq y \leq a\}\)
Assim, pode concluir que
\(\int_0^a \int_0^y f(x) dx dy = \int_0^a \int_x^a f(x) dy dx = \int_0^a [y f(x)]_{y=x}^{y=a} dx = \int_0^a (a f(x) - x f(x))dx = \int_0^a (a-x) f(x) dx\)