Encontrar limites de integração para coordenadas cilíndricas
11 dez 2017, 22:06
Gostaria de saber como encontrar os limites de integração do r em coordenadas cilíndricas quando ele não está explicito, por exemplo, no exercício que vou colocar abaixo na resolução a professora igualou o z à 1 para encontrar o limite de 0 à √2, o que quero saber é o porquê de ela ter igualado o z à 1, se tem alguma regra ou algo do tipo.
Exercício: Use integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular ∫∫∫dV, onde T é uma região limitada acima pelo hemisfério x²+y²+z²=3, abaixo pelo xy e lateralmente pelo cilindro x²+y²=2z
Exercício: Use integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular ∫∫∫dV, onde T é uma região limitada acima pelo hemisfério x²+y²+z²=3, abaixo pelo xy e lateralmente pelo cilindro x²+y²=2z
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- Resolução da questão
Re: Encontrar limites de integração para coordenadas cilíndricas
22 fev 2018, 18:00
Cara o primeiro passo para resolver esse tipo de questão é ver onde é a região de interseção, daí dadas as equações x²+y²+z²=3 e x²+y²=2z, você substitui a segunda na primeira e obtêm z'=1 e z''=-3. Agora, vamos interpretar o que diz a questão: T é uma região limitada "acima" pelo hemisfério x²+y²+z²=3, "abaixo" pelo xy e "lateralmente" pelo cilindro x²+y²=2z. Então a ideia que temos é dada pela figura abaixo, pois o conjunto que queremos integrar é limitado "abaixo" pelo plano "xy" e "acima" pelo hemisfério "superior" da esfera ''x²+y²+z²=3''. Por isto de usarmos z=1, QUE É ONDE AS DUAS REGIÕES SE INTERCEPTAM ACIMA DO PLANO XY e não z=-3, por causa do modo que o conjunto é limitado, se na questão dissesse: T é uma região limitada "abaixo" pelo hemisfério x²+y²+z²=3, e "acima" por xy, então você iria considerar z=-3.
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Re: Encontrar limites de integração para coordenadas cilíndricas
22 fev 2018, 22:14
Bem, em primeiro lugar \(x^2+y^2 = 2z\) não define um cilindro mas sim um parabolóide... A figura é a que anexo. O limite de integração em \(r\) é obtido vendo qual o raio da circunferência que se obtém na interseção das duas curvas.
\(x^2+y^2+z^2=3 \wedge x^2+y^2= 2z \Rightarrow 2z+z^2 {=} 3 \Leftrightarrow z= -3 \vee z{=}1\)
O que interessa aqui é z=1. O z=-3 é excluído simplesmente porque se a região está acima da parábola não podemos ter valores negativos de z... Ora, quando z=1 temos que
\(x^2+y^2 + 1^2 {=} 3 \Leftrightarrow x^2+y^2 {=} 2\)
pelo que na intersecção se tem \(r=\sqrt{2}\). Por outro lado
\(x^2+y^2 = 2z \Leftrightarrow r^2= 2z \Leftrightarrow z = \frac r^2/2\)
\(x^2+y^2+z^2 = 3 \Leftrightarrow r^2+z^2 {=} 3 \Rightarrow z {=} \sqrt{3-r^2}\)
Assim, o integral a calcular é de facto
\(\int_0^{2 \pi} \int_0^{\sqrt{2}} \int_{r^2/2}^{\sqrt{3-r^2}} r dz dr d \theta\)
\(x^2+y^2+z^2=3 \wedge x^2+y^2= 2z \Rightarrow 2z+z^2 {=} 3 \Leftrightarrow z= -3 \vee z{=}1\)
O que interessa aqui é z=1. O z=-3 é excluído simplesmente porque se a região está acima da parábola não podemos ter valores negativos de z... Ora, quando z=1 temos que
\(x^2+y^2 + 1^2 {=} 3 \Leftrightarrow x^2+y^2 {=} 2\)
pelo que na intersecção se tem \(r=\sqrt{2}\). Por outro lado
\(x^2+y^2 = 2z \Leftrightarrow r^2= 2z \Leftrightarrow z = \frac r^2/2\)
\(x^2+y^2+z^2 = 3 \Leftrightarrow r^2+z^2 {=} 3 \Rightarrow z {=} \sqrt{3-r^2}\)
Assim, o integral a calcular é de facto
\(\int_0^{2 \pi} \int_0^{\sqrt{2}} \int_{r^2/2}^{\sqrt{3-r^2}} r dz dr d \theta\)
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