O intervalo de integração consigo encontrar mas qual técnica podemos usar pra resolver essa, substituição trigonométrica talvez, mas essa tambem não obtive sucesso.
| Anexos: |
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| Qual a melhor tecnica para integrar essa função? https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=10&t=13889 |
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| Autor: | GustavoViniciusT [ 24 jun 2018, 19:10 ] | ||
| Título da Pergunta: | Qual a melhor tecnica para integrar essa função? | ||
O intervalo de integração consigo encontrar mas qual técnica podemos usar pra resolver essa, substituição trigonométrica talvez, mas essa tambem não obtive sucesso.
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| Autor: | Rui Carpentier [ 25 jun 2018, 14:16 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Qual a melhor tecnica para integrar essa função? [resolvida] |
Pode resolver a integral sem grandes cálculos dividindo o triângulo em dois: \(R_1\) o triângulo com vértices em (0,0), (0,1) e (1/2,1/2) e \(R_2\) o triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1/2,1/2). Ora temos que \(\int\int_R\frac{\sqrt[3]{y-x}}{1+y+x}dxdy =\int\int_{R_1}\frac{\sqrt[3]{y-x}}{1+y+x}dxdy+\int\int_{R_2}\frac{\sqrt[3]{y-x}}{1+y+x}dxdy\) e fazendo a troca de variáveis \(x\leftrightarrow y\) é fácil ver que \(\int\int_{R_2}\frac{\sqrt[3]{y-x}}{1+y+x}dxdy = -\int\int_{R_1}\frac{\sqrt[3]{y-x}}{1+y+x}dxdy\). Logo, \(\int\int_R\frac{\sqrt[3]{y-x}}{1+y+x}dxdy=0\). |
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| Autor: | GustavoViniciusT [ 25 jun 2018, 16:24 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Qual a melhor tecnica para integrar essa função? |
Não entendi essa parte da troca de variaveis, o valor da integral dupla em R2 é igual a menos a integral dupla R1 e o valor da integral dupla da 0. Não faz muito sentido o volume acima da regiao R e abaixo da superficie f(x, y) ser igual a 0. |
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| Autor: | PierreQuadrado [ 26 jun 2018, 11:18 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Qual a melhor tecnica para integrar essa função? |
Pois... a questão é o significado de "abaixo". Quando a superfície está abaixo do plano XY o volume compreendido entre a superfície e o plano XY tem peso negativo. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 26 jun 2018, 18:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Qual a melhor tecnica para integrar essa função? |
GustavoViniciusT Escreveu: Não entendi essa parte da troca de variaveis, o valor da integral dupla em R2 é igual a menos a integral dupla R1 e o valor da integral dupla da 0. Não faz muito sentido o volume acima da regiao R e abaixo da superficie f(x, y) ser igual a 0. Pelo que percebi, os ponto que não entendeu são os seguintes: (1) a troca de variáveis; (2) o valor da integral dupla em R2 ser igual a menos a integral dupla R1; (3) o valor da integral dupla dar 0. O ponto (3) resulta do ponto (2). Como explicou o PierreQuadrado se a função integrada tomar valores negativos em parte do domínio de integração essa parte da função terá um peso negativo na soma integral podendo esta ser nula. Neste caso, a função toma valores positivos em R1 e valores negativos em R2. Mais, a função é anti-simétrica nessas regiões: \(f(y,x)=\frac{\sqrt[3]{x-y}}{1+x+y}=-\frac{\sqrt[3]{y-x}}{1+y+x}=-f(x,y)\). A troca de variáveis (ponto (1)) usada para mostrar o ponto (2) resulta dessa observação e não é mais que um caso particular simples de integração por mudança de variáveis. Tomando a substituição \(\varphi (x,y)=(y,x)\) temos que \(\int\int_{R_2}f(x,y)dxdy =\int\int_{\varphi^{-1}(R_2)}f(\varphi(x,y))|\det D\varphi (x,y)|dxdy =\int\int_{R_1}f(y,x)dxdy =-\int\int_{R_1}f(x,y)dxdy\). Note que a mudança de variáveis manda \(R_1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x\ge 0; x\le y\le 1-x\}\) em \(R_2=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y\ge 0; y\le x\le 1-y\}\) e vice-versa e o seu Jacobiano é 1. |
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| Autor: | GustavoViniciusT [ 28 jun 2018, 04:30 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Qual a melhor tecnica para integrar essa função? |
Hm obrigado voce a tecnica de integracao por mudanca de variaveis, ate o momento nao tinha visto. Achei interessante mas é bem complexo. |
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| Autor: | PierreQuadrado [ 28 jun 2018, 10:08 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Qual a melhor tecnica para integrar essa função? |
Já deve ter visto Gustavo... Quando usa coordenadas polares, cilíndricas, esféricas, etc está a usar mudanças de variável específicas. O Rui indicou a fórmula geral. |
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