Curva representada em coordenadas polares

[BossMvP]

Prove que, se uma curva é representada em coordenadas polares, então \(ds^2 = r^2d\theta^2 + dr^2.\)

[BossMvP]

Obs: Essa atividade está relacionada com cálculo vetorial, acredito que esta fórmula tem relação com o comprimento do arco de uma curva, contudo é preciso fazer uma adaptação para o sistema de coordenadas polares, mas não tenho a ideia bem clara de como fazer.

[BossMvP]

Talvez isto ajude https://youtu.be/am27TZHvXQo?t=600

[PierreQuadrado]

\(x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta\)

logo, designando \(\frac{dr}{d\theta} = r'\), temos

\(\frac{dx}{d \theta} = r' \cos \theta - r \sin \theta
\frac{dy}{d \theta} = r' \sin \theta + r \cos \theta\)

pelo que

\(\left(\frac{dx}{d \theta} \right)^2 = (r')^2 \cos^2 \theta - 2 r r' \cos \theta \sin \theta + r^2 \sin^2 \theta
\left(\frac{dy}{d \theta} \right)^2 = (r')^2 \sin^2 \theta + 2 r r' \sin \theta \cos \theta + r^2 \cos^2 \theta\)

\(\left(\frac{dx}{d \theta} \right)^2 + \left(\frac{dy}{d \theta} \right)^2 = (r')^2 + r^2 = \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2 +r^2\)

ou, formalmente,

\((dx)^2+(dy)^2 = r^2 (d\theta)^2 + (dr)^2\)

Como \((ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2\) (Teo. de Pitágoras), tem o resultado pretendido.

Daqui resulta que o comprimento do gráfico de uma função \(r = f(\theta)\) para \(\theta \in [a,b]\) é dado por

\(C = \int_a^b \sqrt{r^2+ \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2} d \theta\)

[Robetto]

Conhecimento apertado