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| Curva representada em coordenadas polares https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=10&t=14064 |
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| Autor: | BossMvP [ 22 nov 2018, 06:43 ] |
| Título da Pergunta: | Curva representada em coordenadas polares |
Prove que, se uma curva é representada em coordenadas polares, então \(ds^2 = r^2d\theta^2 + dr^2.\) |
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| Autor: | BossMvP [ 29 nov 2018, 11:24 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Curva representada em coordenadas polares |
Obs: Essa atividade está relacionada com cálculo vetorial, acredito que esta fórmula tem relação com o comprimento do arco de uma curva, contudo é preciso fazer uma adaptação para o sistema de coordenadas polares, mas não tenho a ideia bem clara de como fazer. |
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| Autor: | BossMvP [ 29 nov 2018, 12:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Curva representada em coordenadas polares [resolvida] |
Talvez isto ajude https://youtu.be/am27TZHvXQo?t=600 |
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| Autor: | PierreQuadrado [ 30 nov 2018, 11:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Curva representada em coordenadas polares |
\(x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta\) logo, designando \(\frac{dr}{d\theta} = r'\), temos \(\frac{dx}{d \theta} = r' \cos \theta - r \sin \theta \frac{dy}{d \theta} = r' \sin \theta + r \cos \theta\) pelo que \(\left(\frac{dx}{d \theta} \right)^2 = (r')^2 \cos^2 \theta - 2 r r' \cos \theta \sin \theta + r^2 \sin^2 \theta \left(\frac{dy}{d \theta} \right)^2 = (r')^2 \sin^2 \theta + 2 r r' \sin \theta \cos \theta + r^2 \cos^2 \theta\) \(\left(\frac{dx}{d \theta} \right)^2 + \left(\frac{dy}{d \theta} \right)^2 = (r')^2 + r^2 = \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2 +r^2\) ou, formalmente, \((dx)^2+(dy)^2 = r^2 (d\theta)^2 + (dr)^2\) Como \((ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2\) (Teo. de Pitágoras), tem o resultado pretendido. Daqui resulta que o comprimento do gráfico de uma função \(r = f(\theta)\) para \(\theta \in [a,b]\) é dado por \(C = \int_a^b \sqrt{r^2+ \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2} d \theta\) |
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| Autor: | Robetto [ 17 dez 2018, 05:43 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Curva representada em coordenadas polares |
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