Bombeiro Escreveu:
Resolva:
∬∛(y-x)/(1+x+y) ∂x∂y, sobre um conjunto B, que é definido como o triângulo de vértices (0,0), (1, 0) e (0,1). Obs: a raiz cúbica está somente sobre y-x.
Essa questão foi tirada do livro Um Curso de Cálculo volume 3 quinta edição. Página 98 Exercícios 4.2 questão 1 letra f.
\(\text{primeiro perceba o grafico:}\)
Anexo:
Figura1.png [ 17.04 KiB | Visualizado 1089 vezes ]
\(\text{temos que a nossa integral e:}\)
\(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \frac{\sqrt[3]{y-x}}{1+x+y}dydx\)
\(\text{Facamos a mudanca de variaveis :}\)
\(\\\\ u=y-x \\\\ v=1+x+y\)
\(\text{segue imediatamente que:}\)
\(\\\\ x=\frac{v}{2}-\frac{u}{2}-\frac{1}{2} \\\\ y=\frac{u}{2}+\frac{v}{2}-\frac{1}{2}\)
\(\text{Calcule o Jacobiano, vai dar : -\frac{1}{2} , entao tomemos o modulo ,sera: \frac{1}{2}}\)
\(\text{agora vamos transformar as retas x=0 , x=1 , y=0 , y=1-x}\)
\(\text{Entao nossa regiao sera respectivamente : v=1+u , v=3+u , v=1-u , v=2}\)
\(\text{perceba agora o esboco dessa regiao :}\)
Anexo:
Figura2.png [ 39.17 KiB | Visualizado 1089 vezes ]
\(\text{Uma maneira de determinar a integral dupla e:}\)
\(\text{\int_{1}^{2} \int_{1-v}^{v-1} \frac{\sqrt[3]{u}}{2v} dudv}\)
\(\text{ou ainda:}\)
\(\text{\int_{-1}^{0} \int_{1-u}^{2} \frac{\sqrt[3]{u}}{2v} dvdu+\int_{0}^{1} \int_{1+u}^{2} \frac{\sqrt[3]{u}}{2v} dvdu}\)
abraços
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