Benvindo amigo

Antes de mais, das 4 regras do fórum, apenas 4, uma delas é: um exercício por pergunta.

Numa superfície como esta, em que temos uma superfície \(\Sigma\) e um respetivo bordo/fronteira \(\partial \Sigma\)

Exemplo: imagine isto como o rato do seu computador, a superfície \(\Sigma\) é a parte de cima e dos lados do rato onde vc coloca a mão, e o bordo é a linha à volta do rato onde o mesmo assenta na mesa. Linha, não superfície!



o teorema de Stokes dita que

\(\int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},\)

onde \(\nabla \times \mathbf{F}\) significa Rotacional de F e \(\oint\) faz referência a um integral ao longo de uma linha (normalmente) fechada.

Ora no seu caso na questão 1, o que vc precisa de achar é essa linha \(\partial\Sigma\) que contorna a superfície, que neste caso será a linha que respeita a equação

\(0=4-x^2-y^2\)

\(x^2+y^2=2^2\)

Trata-se então de uma circunferência de raio 2, centro em \((0,0)\) no plano \(z=0\)

uma parametrização possível é

\(\mathbf{r(t)}=(x(t), y(t), z(t))=(2 cos t, 2 sen t, 0) \ t\in[0,\2\pi[\)

\(\mathbf{r'(t)}=(-2 sen t, 2 cos t, 0)\)

Então pela regra do integral de um campo ao longo de uma linha, temos que

\(\int_r \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\)

no nosso caso, como o campo é \(F(x,y,x)=(y,2x,xyz)\) logo

\(\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(2 sen t, 4 cos t, 0)\)

é só achar

\(\int_0^{2\pi} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\)

O ponto \(\cdot\) é o produto interno entre dois vetores

Saudações

PS: E já agora amigo, não nos bombardeie com perguntas, somos gente, não somos máquinas!

De nada meu caro

Estamos aqui para ajudar

Saudações