| Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/ |
|
| Integral Tripla Volume - sólido de Steinmetz https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=10&t=4294 |
Página 1 de 1 |
| Autor: | Man Utd [ 13 nov 2013, 03:07 ] |
| Título da Pergunta: | Integral Tripla Volume - sólido de Steinmetz |
Calcular \(\int \int_{T} \int d V\) , onde \(T\) é a região limitada por \(x^2+y^2=4\) e \(y^2+z^2=4\) . Gabarito. Spoiler: Esboçando dá pra ver que o volume procurado são os dois sólidos (cilindros). então: \(\text{ \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} 1 dzdydx}\) Dúvida: Como prosseguir no cálculo desta integral? Já tentei passar para coordenadas cilíndricas ,mas mesmo assim não conseguir resolver esta integral:( att. Agradeço desde já 
|
|
| Autor: | João P. Ferreira [ 13 nov 2013, 14:23 ] | ||
| Título da Pergunta: | Re: Integral Tripla Volume | ||
Boas acho que o teu integral dá para resolver por substituição trigonométrica \(x=2sen t\) \(dx=2cos t dt\) \(\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4-(2sen t)^2}=2cos t\) Todavia, repara que se trata da interseção de dois cilindros, então o sólido correspondente é o denominado sólido de Steinmetz http://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html Repare ainda que o sólido em causa é simétrico, por isso podes calcular o volume em apenas um dos seus octantes e depois multiplicar por 8. Outra técnica é reparares que a secção de corte horizontal é um quadrado centrado em (0,0) cujo lado mede \(2\sqrt{4-z^2}\) assim o volume é o varrimento (integral) desse quadrado ao longo do eixo \(z\), ou seja \(\int_{-2}^2 2\sqrt{4-z^2}dz\) (para esta primitiva podes usar uma substituição trigonométrica) dúvidas diz um abraço
|
|||
| Autor: | Man Utd [ 14 nov 2013, 12:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral Tripla Volume - sólido de Steinmetz |
Muito obrigado João P. Ferreira ajudaste muito.Achei muito interessante este tipo de sólido. abraços amigo
|
|
| Autor: | João P. Ferreira [ 14 nov 2013, 20:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral Tripla Volume - sólido de Steinmetz |
Nós é que agradecemos os seus nobres contributos à comunidade um grande abraço |
|
| Autor: | Man Utd [ 16 nov 2013, 20:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral Tripla Volume - sólido de Steinmetz [resolvida] |
2° modo : vamos calcular o volume do primeiro octante e multiplicar por 8,para obtermos o sólido por completo. Anexo: Figura Ilustrativa.png [ 146.39 KiB | Visualizado 6572 vezes ] então bastar calcular a integral tripla: \(\text{\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-y^2}} \int_{0}^{\sqrt{4-y^2}} 8 dxdzdy }\) Usando teorema de Fubini: \(\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}} 8 dx=8\sqrt{4-y^2}\) \(\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}}8\sqrt{4-y^2} dz=32-8y^2\) \(\int_{0}^{2} 32-8y^2 dy= \frac{128}{3}\) abraços
|
|
| Autor: | João P. Ferreira [ 17 nov 2013, 22:31 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral Tripla Volume - sólido de Steinmetz |
excelente meu caro amigo muito obrigado pela partilha um abraço
|
|
| Página 1 de 1 | Os Horários são TMG [ DST ] |
| Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/ |
|