Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Alguem sabe onde eu errei?

Eu faria assim:

dado o paraboloide \(z=4x^{2}+16y^{2}\) e o plano \(z=6\) , então :

\(6=4x^{2}+16y^{2}\)

passando para coordenadas cilíndricas:

\(2x=r*cos\theta \\\\ \sqrt 16y=r*sen\theta\)

jacobiano \(J=\frac{r}{2\sqrt 16}\) .

segue que:

\(\frac{1}{2\sqrt 16} *\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{sqrt 6} \int_{r^{2}}^{6} r dzdrd\theta\)

calculando esta integral vc obtém esse resultado :D ,conforme wolfram: http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... x%5E2+to+6

entendi, mas eu realmente queria saber o que está errado no meu, pois esse seria o jeito que feria numa prova, por exemplo.

o único erro foi supor que z varia de 0 até 6.

o z varia do paraboloide \(z=4x^2+16y^2\) até 6.

temos que colocar o paraboloide em coordenadas polares então:

\(z=4*\frac{3u^{2}}{2}+16*\frac{3v^{2}}{8} \\\\ z=6u^{2}+6v^{2} \\\\ z=6r^{2}\)

então a integral montada é:

\(\frac{3}{4}*\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{6r^{2}}^{6} r dzdrd\theta\)

conforme wolfram : http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... x%5E2+to+6

Verdade!
Muito obrigado pelo ajuda