Coordenada Polar - Volume por Integral Dupla

[raimundojr]

Caso alguém possa me ajudar, eu agradeço.


(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 25 - Pág.: 900)
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Acima do cone \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) e abaixo da esfera x²+y²+z²=1.


Comentário:
Integral Dupla ("Teorema de Fubini"):
Se \(\int_{a}^{b}f(x, y)dx=\alpha\), então \(\int_{c}^{d} \int_{a}^{b}f(x, y)dxdy=\int_{c}^{d}\alpha \cdot dy\).

[Man Utd]

Olá



Esboçando a figura vemos que a esfera está acima do cone ,então: \(z=\sqrt{1-x^2-y^2}\) é o limite superior em dz e o cone é o limite inferior em dz :

\(\int \int_{R} \; \sqrt{1-x^2-y^2}-\sqrt{x^2+y^2} dxdy\)



A região \(R\) é projeção no plano \(xy\), então de:

\(\left \{ \\\\ x^2+y^2+z^2=1 \\\\ z=\sqrt{x^2+y^2}\) , obtemos \(z=\frac{1}{\sqrt 2}\)


substituindo na equação do cone: \(x^2+y^2=\frac{1}{2}\)


passando para coordenadas polares:

\(x=r*cos\theta\)

\(y=r*sen\theta\)


calculando o jacobiano obtemos: \(J=r\)

então ficamos com:

\(\int_{0}^{2\pi} \; \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt 2}} \; (\sqrt{1-r^{2}}-r)*r \; dr \; d\theta\)

calcule a integral para obter a resposta.

att. se houver dúvidas fale.

[raimundojr]

Muito obrigado!