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| Coordenadas Esféricas - Cálculo por Integral Tripla https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=10&t=4602 |
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| Autor: | raimundojr [ 14 dez 2013, 03:23 ] |
| Título da Pergunta: | Coordenadas Esféricas - Cálculo por Integral Tripla |
(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 23 - Pág.: 931) Utilize coordenadas esféricas. Calcule \(\iiint_E (x^2+y^2)dV\), onde E está entre as esferas x²+y²+z²=4 e x²+y²+z²=9. Resposta: \(1,688\pi/15\) |
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| Autor: | Davi Constant [ 14 dez 2013, 05:38 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Coordenadas Esféricas - Cálculo por Integral Tripla |
Vamos lá... Em coordenadas esféricas temos o seguinte: \(\Large x=\rho\sin(\varphi )\cos(\theta );y=\rho\sin(\varphi )\sin(\theta );z=\rho\cos(\varphi );dxdydz=\rho^2\sin(\varphi)d\rho d\varphi d\theta\) Região de integração \(\Large E:4\leq x^2+y^2+z^2\leq 9 \rightarrow 2\leq \rho\leq 3\). Sabemos também que \(\Large 0\leq\varphi\leq\pi;0\leq \theta\leq 2\pi\) Do integrando vem que \(\Large x^2+y^2=\rho^2\sin^2(\varphi)\cos^2(\theta)+\rho^2\sin^2(\varphi)\sin^2(\theta)=\rho^2\sin^2(\varphi)\). Então \(\Large x^2+y^2dV=\rho^2\sin^2(\varphi)\rho^2\sin(\varphi)d\rho d\varphi d\theta=\rho^4\sin^3(\varphi)d\rho d\varphi d\theta\). Podemos reescrever \(\Large \iiint_{E}x^2+y^2dV\) como \(\Large \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{2}^{3}\rho^4\sin^3(\varphi)d\rho d\varphi d\theta\). \(\Large\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{2}^{3}\rho^4\sin^3(\varphi)d\rho d\varphi d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\left [\frac{\rho^5}{5}\right]_{2}^{3}\sin^3(\varphi)d\varphi d\theta=\frac{211}{5}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sin^3(\varphi)d\varphi d\theta\) Usando \(\Large \sin^3(\varphi)=\sin^2(\varphi)\sin(\varphi)=(1-\cos^2(\varphi))\sin(\varphi)\) faço a substituição \(\Large u=\cos(\varphi)\rightarrow du=-\sin(\varphi)d\varphi\)... \(\Large \frac{211}{5}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sin^3(\varphi)d\varphi d\theta=\frac{211}{5}\int_{0}^{2\pi}\left[ \frac{1}{3}\cos^3(\varphi)-\cos(\varphi)\right]_{0}^{\pi}d\theta=\frac{211}{5}\times\frac{4}{3}\int_{0}^{2\pi}d\theta=\frac{211}{5}\times\frac{4}{3}\times 2\pi=\frac{1688}{15}\pi\) Espero ter ajudado, Qualquer dúvida sinalize. |
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