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| Coordenadas Cilíndricas - Cálculo por Integral Tripla https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=10&t=4604 |
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| Autor: | raimundojr [ 14 dez 2013, 14:07 ] |
| Título da Pergunta: | Coordenadas Cilíndricas - Cálculo por Integral Tripla |
(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 17 - Pág.: 925) Utilize coordenadas cilíndricas. Calcule \(\iiint_E \sqrt{x^2+y^2}dV\), onde E é a região que está dentro do cilindro x²+y²=16 e entre os planos z=-5 e z=4. Resposta: \(384\pi\) |
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| Autor: | Davi Constant [ 14 dez 2013, 15:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Coordenadas Cilíndricas - Cálculo por Integral Tripla |
Essa questão é simples, mas demanda um pouco de trabalho braçal... Inicialmente temos que observar que essa integral se dividirá em 3, uma vez que existem 3 superfícies esféricas distintas. A saber: \(\large i)0\leq\varphi\leq\frac{\pi}{4}: 0\leq z\leq 4\rightarrow 0\leq\rho\leq\frac{4}{\cos(\varphi)};\) \(\large ii)\frac{\pi}{4}\leq\varphi\leq\pi-\arctan(\frac{4}{5}):0\leq\rho\leq\frac{2}{\sin(\varphi)};\) \(\large iii)\pi-\arctan(\frac{4}{5})\leq\varphi\leq\pi:0\leq\rho\leq\frac{-5}{\cos(\varphi)};\) O integrando: \(\large \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\rho^2\sin^2(\varphi)}=\rho\sin(\varphi)\rightarrow\sqrt{x^2+y^2}dV=\rho^3\sin^2(\varphi)d\rho d\varphi d\theta\) Daí vem que: \(\large \iiint_{E}\sqrt{x^2+y^2}dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{\frac{4}{\cos(\varphi)}}\rho^3\sin^2(\varphi)d\rho d\varphi d\theta+\int_{0}^{2\pi}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi-\arctan(\frac{4}{5})}\int_{0}^{\frac{2}{\sin(\varphi)}}\rho^3\sin^2(\varphi)d\rho d\varphi d\theta+\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi-\arctan(\frac{4}{5})}^{\pi}\int_{0}^{\frac{-5}{\cos(\varphi)}}\rho^3\sin^2(\varphi)d\rho d\varphi d\theta\) Agora é conta e mais contas... Espero ter ajudado, Qualquer dúvida sinalize. |
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| Autor: | Man Utd [ 14 dez 2013, 18:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Coordenadas Cilíndricas - Cálculo por Integral Tripla |
Por coordenadas cilíndricas: como sabemos os limites dz, vamos dy e dx, o cilindro \(x^2+y^2=16\), no plano \(xy\) determinam uma circuferência de raio 4 : \(\int_{-4}^{4} \; \int_{-\sqrt{16-x^2}}^{\sqrt{16-x^2}}\;\int_{-5}^{4} \; \sqrt{x^2+y^2}\; dzdydx\) passando para coordendas polares: \(x=rcos\theta \;\; y=rsen\theta \;\; \text{Jacobiano}=r\) : \(\int_{0}^{2\pi} \; \int_{0}^{4} \;\int_{-5}^{4} r^2 \; dr d\theta\) |
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| Autor: | Davi Constant [ 14 dez 2013, 21:19 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Coordenadas Cilíndricas - Cálculo por Integral Tripla |
Nossa, eu misturei tudo... É por CILÍNDRICAS e não por esféricas.... desconsidere minha postagem então... |
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