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| Integral Tripla-Cálculo de volumes e momento de inércia https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=10&t=553 |
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| Autor: | garotanerd [ 03 jul 2012, 19:43 ] |
| Título da Pergunta: | Integral Tripla-Cálculo de volumes e momento de inércia |
Alguém poderia resolver essas questões explicando detalhadamente. 1-Calcular o volume do sólido delimitado por x²+y²=4,z=0 e 4x+2y+z=16. Ficarei muito grata, é preciso primeiro montar a integral e depois resolvê-la. A resposta é 64pi. 2-Calcular o momento de inércia em relação aos eixos coordenados do sólido delimitado por z=4-x²-y² e z=0, sabendo que a densidade de massa em um ponto P é proporcional à distância de P ao plano xy. A resposta é: (848kpi)\15. Quero que essas questões sejam exemplos para eu fazer a lista do livro. É isso que gosto de fazer nas férias mesmo ^^ |
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| Autor: | josesousa [ 04 jul 2012, 10:41 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral Tripla-Cálculo de volumes e momento de inércia |
Uma das regras do forum é: um tópico por questão! Respondo então à primeira pergunta. A figura é um cilindro de raio 2 em torno do eixo dos z, com base no plano xOy, e cortado pelo plano z=16-4x-2y. O volume é dado então por, usando coordenadas cilíndricas, \(\int_0^2 \int_0^{2\pi} \int_0^{(16-4r.cos\theta-2r.sen\theta)} r dz d\theta dr=\) \(\int_0^2 r \int_0^{2\pi} 16-4r.cos\theta-2r.sen\theta dz d\theta dr=\) \(\int_0^2 r \int_0^{2\pi} 16 d\theta dr- \int_0^2 r \int_0^{2\pi} 4r.cos\theta-2r.sen\theta dz d\theta dr=\) \(\int_0^2 r .32\pi d\theta dr- \int_0^2 r \int_0^{2\pi} 4r.cos\theta-2r.sen\theta dz d\theta dr\) Como no segundo integral estamos a integrar num intervalo de comprimento \(2\pi\) funções sen e cos, o resultado é 0. Assim, sobra o primeiro integral: \(\int_0^2 r .32\pi d\theta dr = 32\pi [\frac{r^2}{2}]_0^2 = 64 \pi\) |
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| Autor: | josesousa [ 04 jul 2012, 11:27 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral Tripla-Cálculo de volumes e momento de inércia |
Citar: 2-Calcular o momento de inércia em relação aos eixos coordenados do sólido delimitado por z=4-x²-y² e z=0, sabendo que a densidade de massa em um ponto P é proporcional à distância de P ao plano xy. A resposta é: (848kpi)\15. Aqui há uma má formulação do problema. Pode ser o momento de inércia em relação ao eixo dos z OU O momento de inércia em relação à origem dos eixos coordenados OU Os momentos de inércia em relação a cada um dos eixos coordenados. De qualquer forma, chamemos d à distância ao eixo/origem. O momento de inércia é dado por \(\int \int \int_V d^2 \rho dV\) Em que \(\rho\) é a densidade de massa. Neste caso, como é proporcional à distância ao plano xOy, é basicamente proporcional a z \(=>\rho = kz\) Imaginemos agora que queremos calcular o momento de inércia em relação ao eixo dos z. Então \(d = \sqrt{x^2+y^2}= r\) em coordenadas cilíndricas Finalmente o momento de inércia é dado por, sabendo que o raio varia de 0 a 2 (z=0 implica que r=2), \(\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^{4-r^2} r^2. kz. r dz dr d\theta=\) \(2\pi \int_0^2 r^3 . k[\frac{z^2}{2}]_0^{4-r^2} dr =\) \(\pi \int_0^2 r^3 . k (16-8r^2+r^4) dr =\) \(k.\pi [4r^4-4r^6/3+r^8/8]_0^2 dr =\) \(k.\pi [4r^4-4r^6/3+r^8/8]_0^2 dr =\) \(k.\pi (64-512/6+32)=64k\pi/6\) Este não é o resultado que pretende, mas é um exemplo. |
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| Autor: | garotanerd [ 04 jul 2012, 16:32 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral Tripla-Cálculo de volumes e momento de inércia |
Muita obrigada, desculpe, sou nova aqui, vou olhar direitinho as regras^^ Em agradecimento, irei divulgar esse fórum. bjus:) |
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| Autor: | josesousa [ 04 jul 2012, 16:44 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral Tripla-Cálculo de volumes e momento de inércia |
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