Esse intervalo explica-se sabendo que o angulo \(\psi\) conta-se desde a parte positiva do eixo dos z até à parte negativa (de 0 a \(\pi\)), sendo que de \(\pi/2\) a \(\pi\) é quando z é negativo. Como aqui só nos interessa o caso de z positivo...
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| Integral tripla - ∫∫∫z dxdydz https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=10&t=589 |
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| Autor: | danjr5 [ 07 jul 2012, 15:51 ] |
| Título da Pergunta: | Integral tripla - ∫∫∫z dxdydz |
danjr5 Escreveu: Calcule \(\int\int\int_{B}^{}zdxdydz\) onde \(B\) é o conjunto \(1 \leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 4, z \geq 0\) Fiz assim: \(x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0 ===> z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}\) \(x^2 + y^2 + z^2 = 4 =====> z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}\) Então, \(\sqrt{1 - x^2 - y^2} \leq z \leq \sqrt{4 - x^2 - y^2}\) Fazendo \(z = 0\), terei \(x^2 + y^2 - 1 = 0\) e \(x^2 + y^2 = 4\) Daí, \(x = r.cos\theta\) \(y = r.sen\theta\) \(1 \leq r \leq 2\) \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) \(\int_{}^{}\int_{B}^{}\int_{\sqrt[]{4 - x^2 - y^2}}^{\sqrt[]{1 - x^2 - y^2}}zdzdxdy =\) \(\frac{1}{2}\int_{}^{}\int_{B}^{}5 - 2(x^2 + y^2)dxdy =\) \(\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}(5 - 2r^2)rdrd\theta =\) \(2\pi\) Mas, de acordo com o livro a resposta é \(\frac{15\pi}{4}\) Tentei também por mudança esférica e pude concluir que tenho grandes dificuldades em determinar o intervalo, nesse caso - \(R^3\) Desde já agradeço. Daniel F. |
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| Autor: | josesousa [ 08 jul 2012, 14:25 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral tripla - ∫∫∫z dxdydz |
Boas! Acho que o melhor é mesmo coordenadas esféricas. Neste caso, \(\theta \in [0, 2\pi[, \psi \in [0, \pi/2], r \in[1, 2]\) Ficamos então com \(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_1^2 rsen\psi.r^2sen\psi dr d\psi d\theta=\) \(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_1^2 r^3.sen^2\psi dr d\psi d\theta=\) \(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}sen^2\psi [\frac{r^4}{4}]_1^2 d\psi d\theta=\) \(\frac{30 \pi}{4} \int_0^{\pi/2}sen^2\psi d\psi=\) \(\frac{30 \pi}{4} \int_0^{\pi/2}\frac{1}{2}(1-cos(2\psi)) d\psi=\) \(\frac{30 \pi}{8} (\pi/4+1)= \frac{30\pi^2}{32}+\frac{30 \pi}{8}=\frac{15\pi^2}{16}+\frac{15 \pi}{4}\) Não tenho tempo agora para rever, porque o resultado não dá igual ao que lhe deu, mas posso ver mais tarde. Espero que ajude! |
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| Autor: | danjr5 [ 08 jul 2012, 15:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral tripla - ∫∫∫z dxdydz |
Olá José Sousa, bom dia! Graças a ti consegui chegar a resposta correta. \(x = r.sen\psi.cos\theta\) \(y = r.sen\psi.sen\theta\) \(z = r.cos\psi\) \(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_1^2 rcos\psi.r^2sen\psi dr d\psi d\theta =\) \(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\frac{15cos\psi.sen\psi}{4} d\psi d\theta=\) \(\int_0^{2\pi}\frac{15}{8} d\theta=\) \(\frac{15\pi}{4}\) Mas não consegui entender/visualizar o intervalo de \(\psi\). Att, Daniel F. |
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| Autor: | josesousa [ 08 jul 2012, 22:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral tripla - ∫∫∫z dxdydz |
Esse intervalo explica-se sabendo que o angulo \(\psi\) conta-se desde a parte positiva do eixo dos z até à parte negativa (de 0 a \(\pi\)), sendo que de \(\pi/2\) a \(\pi\) é quando z é negativo. Como aqui só nos interessa o caso de z positivo...
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| Autor: | danjr5 [ 08 jul 2012, 23:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral tripla - ∫∫∫z dxdydz |
Entendi! Mais uma vez, meus agradecimentos. Daniel F. |
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| Autor: | josesousa [ 08 jul 2012, 23:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral tripla - ∫∫∫z dxdydz |
Não tem que agradecer! Obrigado pela colaboração também! Saudações Pitagóricas |
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