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| Cálculo de Integral onde D é o círculo. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=10&t=6042 |
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| Autor: | LEILA2000 [ 17 mai 2014, 02:48 ] | ||
| Título da Pergunta: | Cálculo de Integral onde D é o círculo. | ||
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| Autor: | Fraol [ 17 mai 2014, 14:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cálculo de Integral onde D é o círculo. |
Bom dia, A maneira mais simples, que eu me lembro - pode ser que haja outra, para resolver esse tipo de problema é usar coordenadas polares. No caso desse problema é praticamente direta a conversão: Fazendo \(x = r \cdot cos(\theta)\) e \(y = r \cdot sen(\theta)\), temos que \(x^2+y^2 = r^2\). \(dA = rdrd\theta\) em coordenadas polares. Como a região de integração é \(x^2 + y^2 \leq 1\) que, assim como a função dada, é simétrica em relação à origem, podemos usar o primeiro quadrante para calcular a integral e multiplicar por 4 o resultado. \(D: x^2 - y^2 \leq 1 \Rightarrow D = \left{ (r, \theta) : 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, 0\leq r \leq 1\right}\) Juntando as peças, a integral ficará assim: \(\iint_D x^2 + y^2 dA = 4 \cdot \iint_D r^2 rdrd\theta = 4 \cdot \iint_D r^2 rdrd\theta\) Separando e aplicando os extremos de integração (no primeiro quadrante): \(4 \cdot \iint_D r^2 rdrd\theta = 4 \cdot \int_{0}^{1}r^3dr \cdot \int_{0}^{\pi/2}d\theta= 4\cdot \left[ \frac{r^4}{4}\right ]_0^1 \cdot \begin{bmatrix} \theta\\ \text{ } \end{bmatrix}_0^{\pi/2}\) Agora é fazer as contas para concluir. |
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