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Veja dados abaixo:

x=au y=bu 2=cu

P x+y+z=1 => x/a + y/b + 2/c = 1 Q


2 (x,y,z) / 2 (u,v,w) = a 0 0
0 b 0
0 0 c

∭_Q▒〖dv 〗= abc ∭_P▒〖dv 〗

O exposto acima é uma parte que foi desenvolvida usando o teorema de mudança de variáveis, agora falta calcular o volume da elipse x²/a²+x²/b²+x²/c²=1.

dado o elipsoide : \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) , fa a susbtituição \(u=\frac{x}{a}\) , \(v=\frac{y}{b}\) e \(w=\frac{z}{c}\), calcule o jacobiando vai dar : \(J=abc *\rho^{2} * sen(\phi) \;\)disso temos que a nossa nova área de integração é uma esfera.

Então :


\(\int_{0}^{2\pi} \; \int_{0}^{\pi} \; \int_{0}^{1} \; abc *\rho^{2} * sen(\phi) \; d\rho d\phi d\theta\)