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| Calculo de Área Integral Definida https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=10&t=6946 |
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| Autor: | Raphaell20 [ 19 set 2014, 17:54 ] |
| Título da Pergunta: | Calculo de Área Integral Definida |
Encontre o número b tal que a reta y=b divida a região delimitada pelas curvas \(y=x^{^{2}}\) e \(y=4\) em duas regiões com área igual. Resposta= \(4^{2/3}\) |
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| Autor: | Fraol [ 21 set 2014, 23:37 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calculo de Área Integral Definida |
Boa noite, Pela simetria do gráfico das duas funções dadas e como se quer duas áreas iguais então uma delas será igual à metade da área original. Quando \(y = 4\), temos que \(x^2 = 4\) e portanto \(x = 2\) ou \(x = -2\). Assim á area delimitada por \(y = 4\) e \(x^2\), no lado positivo do eixo x equivale à metade da área original e igual a diferença da área de um retângulo 2x4 e da área sob a parábola \(x^2\) entre 0 e 2: \(A = 8 - \int_{0}^{2} x^2 dx = 8 - \frac{x^3}{3}|_{0}^{2} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}\) Quando \(y=b\) temos que \(x = \sqrt{b}\). A área figura compreendida entre as funções, nesse caso, é a área de um retângulo \(2 \cdot \sqrt{b} \cdot b\) menos a área sob a parábola que vale \(2 \cdot \int_{0}^{\sqrt{b}} x^2 dx\). Devemos igualar essa conta ao resultado anterior, assim: \(2 \cdot b^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{b^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{16}{3}\) Ou seja: \(b^{\frac{3}{2}} = {4} \Leftrightarrow b = {4}^{\frac{2}{3}}\) |
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