Boas
A área a que se refere é a que vai em anexo
Ora então podemos usar coordenandas polares
\(x=r.cos(\theta)
y=r.sin(\theta)\)
Sabemos que quando temos coordenadas polares os integrais de superfície ficam
\(\iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_a^b \int_0^{r(\theta)} f(r,\theta)\,r\,dr\,d\theta\)
\(y=x\) corresponde a um ângulo \(\theta\) de \(\pi/4\)
\(y=4x\) corresponde a um ângulo de \(arctg\left(\frac{4}{1}\right)=arctg(4)\)
A curva \(xy=1\) corresponde a:
\(r.cos(\theta).r.sen(\theta)=1\)
\(r^2=\frac{2}{2.sen(\theta)cos(\theta)}\)
\(r=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{sen(2\theta)}}\)
A curva \(xy=2\) corresponde a:
\(r.cos(\theta).r.sen(\theta)=2\)
\(r^2=\frac{4}{2.sen(\theta)cos(\theta)}\)
\(r=\frac{2}{\sqrt{sen(2\theta)}}\)
Continuando
\(\iint_D f(x,y) \, dxdy = \\ \\= \int_{\pi/4}^{arctg 4} \ \int_{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{sen(2\theta)}}}^{\frac{2}{\sqrt{sen(2\theta)}}} f(r,\theta)\,r\,dr\,d\theta\)
Não sei se é este o caminho, provavelmente não, mas confesso que não estou a ver...
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