Integral dupla - Fiz correto? Como prosseguir?

[Estudioso]

Oi!

Calcule a integral dupla:

\(\int _{R}\int x\,sen\,(x+y)dA,\,\,\,\,\,\,R=\left [ 0,\frac{\pi }{6} \right ]x\left [ 0,\frac{\pi }{3} \right ]\)

Consegui chegar em: \(\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}-x\left [ cos\left ( x+\frac{\pi}{3} \right ) -cos(x)\right ]dx\)

Gostaria de saber se até aqui está correto e que alguém me ajudasse a prosseguir por favor.

Obrigado

[Sobolev]

Até aqui está correcto. Resta calcular o integral em x.

[Estudioso]

Oi!

Sobolev, não sei dar sequência. Pode me ajudar?

Obrigado

[Sobolev]

Tem que integrar por partes,

\(\int_0^{\pi/6} -x ( \cos (x+\pi/3) - \cos x) \,dx =\int_0^{\pi/6} x (\cos x - \cos (x+\pi/3)) \,dx =
\left[x(\sin x - \sin(x+\pi/3))\right]_0^{\pi/6} - \int_0^{\pi/6}1 \cdot (\sin x - \sin(x+\pi/3))\,dx = -\frac{\pi}{12}-\left[ -\cos x + \cos(x+ \pi/3)\right]_0^{\pi/6} = -\frac{\pi}{12}-\frac 12 +\frac{\sqrt{3}}{2}\)