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Avalie a integral Dupla \(\int \int _{D}2xy\,dA\), D é a região triangular com vértices (0,0), (1,2) e (0,3).

Alguém me explica o passo-a-passo por favor?

Obrigado

Se marcar os pontos dados num referencial, verá que se trata de um triângulo, contido na faixa vertical \(0 \leq x \leq 1\), limitado abaixo e acima pelas rectas y = 2x e y = 3-x, respectivamente. Assim, a região pode ser descrita do seguinte modo:

\(D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 0 \leq x \leq 1, 2x \leq y \leq 3-x \}\)

pelo que o integral pode ser calculado como

\(\iint_D 2xy dA = \int_0^1 \int_{2x}^{(3-x)} 2xy dy dx = \int_0^1 2x \left[\frac{y^2}{2}\right]_{y=2x}^{y=3-x} dx = \cdots = \frac 74\)