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| Coordenadas cilíndricas/esféricas para volume de uma região https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=10&t=989 |
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| Autor: | miguelsantos [ 29 Oct 2012, 14:50 ] |
| Título da Pergunta: | Coordenadas cilíndricas/esféricas para volume de uma região |
Boas, estou com dificuldades em resolver este tipo de exercicios. O exercicio pedido é: Escreva expresões em coordenadas cilíndricas e esféricas para o volume das seguintes regiões: (a) V = {(x, y, z) R3 : sqrt(x^2 + y^2) < z < sqrt(1 − x^2 − y^2) } (b) V = {(x, y, z) R3 : 0 < y < x, z > 0, 1 < x^2 + y^2 + z^2 < 2 } Como resolver? |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 01 nov 2012, 15:39 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Coordenadas cilíndricas/esféricas para volume de uma reg |
Caro, nessa pergunta estão quatro exercícios... Diga-nos qual a sua dificuldade... |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 01 nov 2012, 15:48 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Coordenadas cilíndricas/esféricas para volume de uma reg |
(a) \(V = \{(x, y, z)\in \mathbb{R}^3 : \sqrt{x^2 + y^2} < z < \sqrt{1-x^2-y^2} \}\) define uma secção cónica de uma esfera de raio 1. Em coordenadas cilíndricas (\((\rho ,\varphi ,z)\in [0,+\infty[\times [0,2\pi [\times \mathbb{R}\) com \(x=\rho\cos\varphi , y=\rho\sin\varphi , z=z\)) fica: \(\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\int_{\rho}^{\sqrt{1-\rho^2}}\rho dz d\rho d\varphi\) Em coordenadas esféricas (\((r,\theta ,\varphi )\in [0,+\infty[\times [0,\pi ]\times [0,2\pi [\) com \(x=r\sin\theta\cos\varphi , y=r\sin\theta\sin\varphi , z=\cos\theta\)) fica: \(\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}r \sin\theta d\theta dr d\varphi\) (b) \(V = \{(x, y, z)\in \mathbb{R}^3 : 0 < y < x, z > 0, 1 < x^2 + y^2 + z^2 < 2 \}\) define um octante de uma esfera oca de raio exterior igual 2 e raio interior igual a 1. Em coordenadas cilíndricas (\((\rho ,\varphi ,z)\in [0,+\infty[\times [0,2\pi [\times \mathbb{R} /tex] com [tex]x=\rho\cos\varphi , y=\rho\sin\varphi , z=z\)) fica: \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{1-\rho^2}}^{\sqrt{2-\rho^2}}\rho dz d\rho + \int_{1}^{2}\int_{0}^{\sqrt{2-\rho^2}}\rho dz d\rho\right) d\varphi\) Em coordenadas esféricas (\((r,\theta ,\varphi )\in [0,+\infty[\times [0,\pi ]\times [0,2\pi [ /tex] com [tex]x=r\sin\theta\cos\varphi , y=r\sin\theta\sin\varphi , z=\cos\theta\)) fica: \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{1}^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r \sin\theta d\theta dr d\varphi\) Nota: Estou a usar a convenção \(\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}\int_{e}^{f}du dv dw\) se \(a<w<b , c<v<d , e<u<f\) |
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