Sucessões/Sequências e séries da primitivas

[tiberiotavares]

1) Sejam F e f definidas em [a;b] e tais que F em f em [a;b]:assim F é uma primitivas de f em [a;b].Seja a partição P = a =\(x_{0}\)<\(x_{1}\) <\(x_{2}\) <...< \(x_{n}\) = b de [a;b].Prove que escolhendo convenientemente \(C_{I}\) em [\(x_{I-1}\);\(x_{I}\)]tem-se

F (b) - F (a) = \(\sum_{i=1}^{n}f\left ( C_{I} \right )\Delta x_{i}\)

[Sobolev]

\(F(b)-F(a)= F(a)+[-F(x_1)+F(x_1)]+[-F(x_2)+F(x_2)[+ \cdots +[-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})] -F(b)=
\left[F(x_1)-F(x_0)\right]+[F(x_2)-F(x_1)] + \cdots +[F(x_n)-F(x_{n-1})] =
F'(C_1(x_1-x_0) + F'(C_2)(x_2-x_1)+ \cdots + F'(C_{n})(x_n-x_{n-1})=
\sum_{i=1} f(C_i) \Delta x_i\)

OBS: Na passagem da segunda para a terceira linha usou-se o teorema de Lagrange e teve-se em conta que, como F é uma primitiva de f, se tem \(F'(C_i)=f(C_i)\).