raio e dominio de convergencia

[miguel.silva]

Determine o raio e o domínio de convergência da série de potências

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Anexos

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[Sobolev]

Quando tem uma série de potências do tipo \(\sum a_n (x-a)^n\), se existir o limite \(R=\lim \frac{a_n}{a_{n+1}}\), a mesma é absolutamente convergente no intervalo \(]a-R, a+R[\). Neste caso concreto, temos \(a = 2\) e \(a_n =\frac 1n\), pelo que \(R=\lim \frac{1/n}{1/(n+1)} = 1\). A série é absolutamente convergente no intervalo \(]2-1, 2+1[ = ]1,3[\).

Poderá também investigar a convergência na fronteira do domínio de convergência absoluta. No ponto x=3 obtemos a série harmónica, que é divergente. já no ponto x=1 obtemos a séria harmónica alternada, que é convergente.

A conclusão final é que:

1. A série é absolutamente convergente do intervalo ]1,3[.
2. A série é divergente em \(]-\infty, 1[ \cup [3, +\infty[\)
3. A série é simplesmente convergente em x=1.