escrever função como série de potências e intervalo

[miguel.silva]

Recorde a série geométrica de razão |r|<1
\(\sum_{n\geq 0}^{+oo}r^n=\frac{1}{1-r}\)

Usando a série geométrica escreva a seguinte função como série de potências indicando o seu intervalo
de convergência

\(\frac{1}{2+x}\)

Obrigado!

[Sobolev]

\(\frac{1}{2+x} = \frac{1}{2(1+\frac x2)} = \frac 12 \cdot \frac{1}{1-(-\frac x2)} = \frac 12 \sum_{n=0}^{+\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} \cdot x^n\).

A série é absolutamente convergente se \(|-\frac x2| < 1 \Leftrightarrow |x| < 2\), isto é, quando \(x \in ]-2,2[\).