raio e dominio de convergencia desta serie de potencias
14 dez 2015, 20:56
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Re: raio e dominio de convergencia desta serie de potencias
15 dez 2015, 02:03
Se\(\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n\), e se existe \(\lim \frac{\left | a_n \right |}{\left | a_{n+1} \right |}\), então:
Para \(a_n=\frac{1}{2+\frac{1}{n+1}}\):
\(R=\lim \frac{\left | a_n \right |}{\left | a_{n+1} \right |}=\lim \frac{1}{2+\frac{1}{n+1}}\cdot \frac{2+\frac{1}{n+2}}{1}=\frac{2}{2}=1\)
Sabe-se então que a série é convergente para \(x\in ]-1,1[\) e divergente para \(x\in ]-\infty,-1[\cup ]1,+\infty\)
Para x=1podemos utilizar o critério de comparação no limite
\(\lim \frac{\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n+1}}=\lim \frac{1}{2n+\frac{n}{n+1}}=0\)
Logo a série para x=1 diverge.
Para x=-1, pelo mesmo critério também vai divergir.
Para \(a_n=\frac{1}{2+\frac{1}{n+1}}\):
\(R=\lim \frac{\left | a_n \right |}{\left | a_{n+1} \right |}=\lim \frac{1}{2+\frac{1}{n+1}}\cdot \frac{2+\frac{1}{n+2}}{1}=\frac{2}{2}=1\)
Sabe-se então que a série é convergente para \(x\in ]-1,1[\) e divergente para \(x\in ]-\infty,-1[\cup ]1,+\infty\)
Para x=1podemos utilizar o critério de comparação no limite
\(\lim \frac{\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n+1}}=\lim \frac{1}{2n+\frac{n}{n+1}}=0\)
Logo a série para x=1 diverge.
Para x=-1, pelo mesmo critério também vai divergir.