Convergência e divergência de séries

[MarceloRocks]

Determinar se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, e porque?
1) 2 / n² + 4n + 3

2) 9 ^ n / 3 + 10 ^ n

3) (-1)^n * ( 3n-1 / 2n+1 )

4) (-1)^n * ( 2^n / n^4)

5) (-1)^ (n+1) * (n! / n²)

[João P. Ferreira]

Marcelo, não resolvemos listas de exercícios

Somos gente, não somos máquinas

Diga uma série para a gente o ajudar por favor

Abraços

[MarceloRocks]

Oi, tudo bem?

Ok, esta daqui:

5) (-1)^ (n+1) * (n! / n²)

e gostaria de saber o porque da convergencia/divergencia

Abraço

[João P. Ferreira]

Ora então

\(\sum_{n} (-1)^ {n+1} \frac{n!}{ n^2}\)

Repare que o termo \((-1)^ {n+1}\) faz com que a série seja alternada pois \((-1)^ {n+1}\) alterna entre 1 e -1

Veja o teste da série alternada

Assim, segundo este teste, para o seu caso

\(a_n=\frac{n!}{ n^2}\)

como \(\lim a_n = \infty\) a série é divergente (lembre-se que o fatorial para infinito cresce muito mais rapidamente que qualquer potência)

Está certo, confirme aqui

Abraços e volte sempre

[João P. Ferreira]

Para as alíneas 3) 4) e 5) é exatamente a mesma coisa, é só usar o mesmo critério, ou seja é só achar o limite de \(a_n\), e se esse limite for zero, a série é convergente

[MarceloRocks]

beleza pessoal, obrigado!

Então se o limite for 0 a série é convergente, e caso for diferente de 0 com certeza é divergente?

Só pra esclarecer outra coisa, n! cresce mais que n^n correto?

[João P. Ferreira]

beleza pessoal, obrigado!

Então se o limite for 0 a série é convergente, e caso for diferente de 0 com certeza é divergente?

Correto, mas só para as séries alternadas do tipo \(\sum_n (-1)^n a_n\)

Só pra esclarecer outra coisa, n! cresce mais que n^n correto?

Não! \(n!\) cresce mais rapidamente que \(n^a \ , \ a \in \R\)

mas

\(n^n\) cresce mais rapidamente que \(n!\)

Abraços

[MarceloRocks]

Opa! beleza anotado então!

Qual teste devo usar para esta série?

1 / (1 + 3^n)

Sei que possa usar o teste da comparação, e comparar a série com 1 / 3^n

Até ai beleza.Porem qual teste usar agora?

Um abraço

[MarceloRocks]

Ah, eu fiz o teste da razão deu certo, eu usei an+1 / an

E o limite disso deu 1/3, ou seja, menor do que 1

Logo a série converge.Uma coisa que eu aindei percebendo.

Sempre que não for uma série alternada e tiver algum numero elevado na n, que não esteja no numerador, ou se caso tenha no numerador tambem esteja no denominador ( pois se eu tiver por exemplo 10^n / 3 ou 16^n/5^n nao preciso nem testar, pois sei que isto dará infinito logo a série sera divergente), devo usar o teste da razão?

Por exemplo 5^n/10^n eu usei o teste da razão e deu certo.

Valeu

[wilnermat]

Oi pessoal tudo bem?

Eu tambem estou com uma duvida com relação a série 3^n + 2^n / 6^n

Qual teste usar?

Abraço