Convergente ou divergente? - Sequência (Discutir)

[Leibniz]

Bom dia amigos!

A sequência \(a_{n}=\frac{n!}{n^n}\) é convergente ou divergente?

Obs.: n! = 1 . 2 . 3 . ... . n

Agradeço se alguém puder ajudar.

[jorgeluis]

Leibniz,
como,
\(n! < n^n, \forall n \in N*\)
então,
\(a_n\) converge para 0.

[Sobolev]

Jorge, os seu argumento não é válido... também é verdade que \(n < 2n\) e nem por isso \(\lim \frac{n}{2n}\) é igual a zero. É no entanto verdade que a sucessão é convergente. Se já estudou séries, uma forma simples de ver que o limite é zero é reconhecer que se trata do termo geral de uma série convergente.

[jorgeluis]

Sobolev,
divergencia: \(\lim_{n \to \infty }\)
convergencia: \(\lim_{n \to 0 }\)
a sequência finita é óbvia, (não se trata de uma fração apenas), conforme obs. da questão:
\(1,..., (n-3), (n-2), (n-1), n\)
dessa forma, a conclusão ficou fácil, uma vez que a sucessão das frações tendem a zero (de acordo com as divisões).

[santhiago]

Caro Luis revise o que vc postou . Dica : Basta notar que cada termo da sequencia nao excede \(1/n\) .De fato , para \(n \geq 2\) ,
\(\frac{n!}{n^n} = \frac{1}{n} \prod_{k=2}^n \left( \frac{ k}{n} \right)\) ... Ora , claro que \(0 < \frac{ k}{n} \leq 1 (k = 2 \dots , n )\) de onde segue a desigualdade .
Qual conclusão ???

[Sobolev]

Jorge, não percebi a sua resposta... Para mostrar que a sucessão converge para zero não basta mostrar o numerador é menor que o denominador (não importa quantos factores existem um e noutro).