Natureza da Série | sum tg(1/n^2)/(1/n)
04 jan 2012, 17:46
Boa tarde,
Alguém me pode ajudar a resolver a série relativamente á sua natureza (divergente, simplesmente convergente ou absolutamente convergente)
Obrigado
Abraço
NSilva
Alguém me pode ajudar a resolver a série relativamente á sua natureza (divergente, simplesmente convergente ou absolutamente convergente)
Obrigado
Abraço
NSilva
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Re: Natureza da Série
04 jan 2012, 20:08
Meu caro, neste caso usaremos o segundo critério da comparação (aquele que usa os limites) para calcular a natureza de:
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{tg\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n}}\)
Comparemos com a série \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) que sabemos que é divergente
Assim, façamos:
\(\lim_{n \to \infty}\frac{\left(\frac{tg\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n}}\right)}{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{tg(\frac{1}{n^2})}{\frac{1}{n^2}}\)
Podemos fazer uma substituição \(\frac{1}{n^2}=k\) e se n tende para infinito k tenderá para zero, assim ficamos com:
\(\lim_{k \to 0}\frac{tg(k)}{k}=\lim_{x \to 0}\frac{tg(x)}{x}, x \in \Re\)
Continuando:
\(\lim_{x \to 0}\frac{tg(x)}{x}=\frac{0}{0}=Ind.\)
Aplicando a regra de Cauchy
\(\lim_{x \to 0}\frac{tg(x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{(tg(x))'}{(x)'}=\lim_{x \to 0}\frac{sec^2(x)}{1}=1\)
Como o limite dá um número finito diferente de zero, ou seja \(0<1<\infty\) e porque comparámos com uma série divergente, esta série é divergente
Volte sempre meu caro
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{tg\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n}}\)
Comparemos com a série \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) que sabemos que é divergente
Assim, façamos:
\(\lim_{n \to \infty}\frac{\left(\frac{tg\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n}}\right)}{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{tg(\frac{1}{n^2})}{\frac{1}{n^2}}\)
Podemos fazer uma substituição \(\frac{1}{n^2}=k\) e se n tende para infinito k tenderá para zero, assim ficamos com:
\(\lim_{k \to 0}\frac{tg(k)}{k}=\lim_{x \to 0}\frac{tg(x)}{x}, x \in \Re\)
Continuando:
\(\lim_{x \to 0}\frac{tg(x)}{x}=\frac{0}{0}=Ind.\)
Aplicando a regra de Cauchy
\(\lim_{x \to 0}\frac{tg(x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{(tg(x))'}{(x)'}=\lim_{x \to 0}\frac{sec^2(x)}{1}=1\)
Como o limite dá um número finito diferente de zero, ou seja \(0<1<\infty\) e porque comparámos com uma série divergente, esta série é divergente
Volte sempre meu caro