Série - Converge ou diverge? Se convergir encontre sua soma

[Estudioso]

Se a série abaixo convergir encontre sua soma.

\(\sum_{{n=1}}^{\infty } (tg(n)-tg(n-1))\)


Gostaria que avaliassem por favor minha resolução.

Uma série é dita telescópica quando o seu termo geral pode ser escrito na seguinte forma: \(\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\,\pm\, b_{n+1}\). Logo, \(-\sum_{n=1}^{\infty }\,(tg(n-1)-tg(n))\) (que atende a condição enunciada acima).

Como atende a condição anunciada, pode ser calculada da seguinte maneira: \(\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}-b_{n+1}=b_{1}-\lim_{n \to \infty }b_{n+1}\)

Sendo assim,

\(\sum_{n=1}^{\infty }tg(n)-tg(n-1)=\sum_{n=1}^{\infty }-\left [ 0-\lim_{n \to \infty }tg(n) \right ]\)

Logo, posso concluir que a série diverge?

Obrigado

[João P. Ferreira]

Acho que está a fazer algo errado porque é o termo presente menos o termo seguinte

a regra é esta:

\(\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n+1}-a_n)=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}-a_1=\lim_{n\to\infty}a_n-a_1\)

o que tem é

\(\sum_{{n=1}}^{\infty } (tg(n)-tg(n-1))\)

substituindo \(n=k+1\)

\(\sum_{{k=0}}^{\infty } (tg(k+1)-tg(k))=tg(1)+\sum_{{k=1}}^{\infty } (tg(k+1)-tg(k))=tg(1)+\lim_{n\to\infty}tg(n)-tg(1)=\lim_{n\to\infty}tg(n)\)

e este limite não existe, logo a série não converge

[João P. Ferreira]

vi agora que na sua fórmula tem "mais ou menos", desconhecia essa variante, há várias formas de lá chegar
mas sim, a série diverge

[Estudioso]

Acho que está a fazer algo errado porque é o termo presente menos o termo seguinte

a regra é esta:

\(\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n+1}-a_n)=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}-a_1=\lim_{n\to\infty}a_n-a_1\)

Mesmo quando coloco o sinal negativo pelo lado de fora da série como fiz?

Obrigado

[João P. Ferreira]

tem razão, colocando o sinal negativo do lado fora, também funciona