Série - Converge ou diverge? (Teste da Raiz)

[Estudioso]

\(\sum_{k=1}^{\infty }\frac{2^k.\,k!}{(k+2)!}\) converge ou diverge?

Utilize o Teste da Raiz.

Agradeço

[Sobolev]

Tem que começar por calcular (caso exista) o limite

\(\lim \sqrt[k]{\frac{2^k k!}{(k+2)!}} = 2 \lim \sqrt[k]{\frac{1}{(k+1)(k+2)}} = 2 \times 1 = {2}\)

Como este limite é maior do que 1 o critério da raiz garante que a série é divergente.

[Estudioso]

\(\lim \sqrt[k]{\frac{1}{(k+1)(k+2)}} = 1\)

Me explique por favor como resolvo esse limite. Pelo que fiz aqui, encontrei uma indeterminação do tipo 0^0.

Agradeço

[Sobolev]

\(\lim \left(\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right)^{1/k} = e^{\lim \log \left(\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right)^{1/k}}=
e^{- \lim \frac 1k ( \log (k+1) + \log(k+2))}= \cdots\)

Neste último limite pode usar a regra de Cauchy obtendo

\(\cdots = e^{-0} = 1\)