Série de Taylor e raio de convergência (Como prosseguir?)

[Estudioso]

Boa noite a todos!

Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor de a.

\(f(x)=ln(1+x);\,\,a=0\)

Calculando a n-ésima derivada cheguei em:

\(f'(x)=\frac{1}{1+x}\)

\(f"(x)=\frac{-1}{(1+x)^2}\)

\(f^{(3)}(x)=\frac{2}{(1+x)^3}\)

\(f^{(4)}(x)=\frac{-6}{(1+x)^4}\)

Não consegui encontrar uma expressão para \(f^{(n)}(x)\). Apenas percebi que o denominador pode ser escrito como \({(1+x)^n}\)

Agradeço

[pedrodaniel10]

Só escrever doutra forma:

\(f'(x)=(1+x)^{-1}
f''(x)=-1\cdot (1+x)^{-2}
f'''(x)=1\cdot 2(1+x)^{-3}
f^{(4)}(x)=-1\cdot 2\cdot 3\cdot (1+x)^{-4}
\vdots
f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}\cdot (n-1)!\cdot (1+x)^{-n}\)

Onde temos para x=0:

\(f^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}\cdot (n-1)!\)

\(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{(-1)^{n+1}\cdot (n-1)!}{n!}\cdot x^n=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot x^n\)

O raio de convergência é trivial, converge para \(\left | x \right |<1\)