Expressão para o teste da comparação numa série

[tiago_antunes]

Oi

estou a tentar achar esta série

\(\sum_{n=1}^{\infty}\left[ e^{1/n}-e^{-1/n}\right]\)

já que os testes da raiz e da razão são inconclusivos pois \(l=1\)

tenho quase a certeza que é pelo teste da comparação, mas comparo com qual expressão?

Obrigado galera

[Fraol]

Olá, boa noite,

Lembre-se que se \(\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0\) então \(\sum a_n\) diverge.

Oops - desculpe, errei na conta. Volto daqui há pouco para digitar a solução correta.

[João P. Ferreira]

Pode comparar com \(\sum \frac{1}{n}\)

depois basta verificar que

\(\lim \frac{e^{1/n}-e^{-1/n}}{\frac{1}{n}}>1\)

acho que é isto...

[João P. Ferreira]

Olá, boa noite,

Lembre-se que se \(\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0\) então \(\sum a_n\) diverge.

Não, o limite dá zero

\(\lim e^{1/n}-e^{-1/n}=\lim e^{1/\infty}-e^{-1/\infty}=e^0-e^0={1}-{1}={0}\)

abraços

[Fraol]

Sim João, obrigado. Eu errei nas contas. Vi logo após enviar e editei indicando a falha. Estou a analisar a sua solução.

Obrigado.

[João P. Ferreira]

Sem estresses

Eu também me enganei, queria dizer 1/n

Abraços

[Sobolev]

Aplicando o teorema de Lagrange à função exponencial no intervalo [-x,x], com x > 0, podemos mostrar que \(e^x-e^{-x} \ge 2 x e^{-x}, \quad x \ge 0\). Vemos então que \(e^{1/n}-e^{-1/n} \ge \frac{2}{n} e^{-1/n}\). Como podemos ver facilmente (por comparação com a série de termo geral 1/n ) que a série de termo geral \(\frac{2}{n} e^{-1/n}\) é divergente, o critério geral de comparação garante a divergência da série em análise.